¿Cómo se resolvió la ecuación de [math] \ lim_ {c \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {c} \ right) ^ c = e [/ math] para [math] e [/ math ]?

Answer 1

Numéricamente, hay bastantes maneras de aproximar [matemáticas] e [/ matemáticas].

La fórmula que proporcione es una, solo ingrese un gran valor para c. Pero como habrás notado (desde que lo preguntaste) no cubre muy rápido. Sin embargo, exponer a un valor grande no es un problema, ya que se puede hacer con cuadratura repetida.

[matemáticas] (1 + 0.01) ^ {100} = 2.7048 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 + 0.001) ^ {1000} = 2.7169 [/ matemáticas]
[matemáticas] (1 + 0.0001) ^ {10000} = 2.7181459268 [/ matemáticas]

Otra forma es usar la serie.

[matemáticas] e = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} [/ matemáticas]

Debido a que los denominadores crecen súper exponencialmente rápido, esto converge algo más rápido.

series hasta [matemáticas] 5! [/ matemáticas]: [matemáticas] 2.71666666 [/ matemáticas]
hasta [matemáticas] 7! [/ matemáticas]: [matemáticas] 2.71825396 [/ matemáticas]
hasta [matemáticas] 10! [/ matemáticas]: [matemáticas] 2.71828180 [/ matemáticas] (el último dígito aquí sigue siendo incorrecto)

También hay representaciones de fracción continua que se pueden usar. La serie de potencia

[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ k} {k!} [/ matemáticas]

es probable lo que usa su calculadora o computadora para calcular los valores de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], con [matemáticas] e ^ 1 [/ matemáticas] como un caso especial (la serie que mostré arriba). Varios trucos pueden acelerar hasta la implementación.

También puede usar el método de Newton para converger en un valor numérico para [math] e [/ math].

Answer 2

Una manera simple es convertir el problema en log y usar la regla de L’Hospital.

[matemáticas] \ lim_ {c \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {c}) ^ c = \ lim_ {c \ to \ infty} e ^ {c \ ln \ left (1+ \ frac { 1} {c} \ right)} = e ^ {\ lim_ {c \ to \ infty} c \ ln \ left (1+ \ frac {1} {c} \ right)} [/ math]

mientras,
[matemáticas] \ lim_ {c \ to \ infty} c \ ln \ left (1+ \ frac {1} {c} \ right) = \ lim_ {c \ to \ infty} \ frac {\ ln \ left (1 + \ frac {1} {c} \ right)} {\ frac {1} {c}} = [/ math] [math] \ lim_ {c \ to \ infty} \ frac {\ ln \ left (1+ \ frac {1} {c} \ right) ‘} {\ left (\ frac {1} {c} \ right)’} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {c \ to \ infty} \ frac {\ frac {1} {1+ \ frac {1} {c}} \ frac {-1} {c ^ 2}} {\ frac {-1 } {c ^ 2}} = 1 [/ matemáticas]

entonces,
[matemáticas] \ lim_ {c \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {c}) ^ c = e [/ matemáticas]

O utilizando la expansión de Taylor de [matemáticas] \ ln \ izquierda (1+ \ frac {1} {c} \ derecha) [/ matemáticas] para reemplazar la regla de L’Hospital, recordamos

[matemáticas] \ ln \ left (1+ \ frac {1} {c} \ right) = \ frac {1} {c} – \ frac {1} {2} \ left (\ frac {1} {c} \ right) ^ 2 + \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {c} \ right) ^ 3 – \ ldots [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {c \ to \ infty} \ frac {\ ln \ left (1+ \ frac {1} {c} \ right)} {\ frac {1} {c}} = [/ math] [ matemáticas] \ lim_ {c \ to \ infty} 1 – \ frac {1} {2} \ frac {1} {c} + \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {c} \ derecha) ^ 2 – \ ldots = 1 [/ math]

Answer 3

No hicimos algún trabajo teórico o cálculo y encontramos que el límite es [matemáticas] e [/ matemáticas]. Definimos ese límite (o sus equivalentes) como [math] e [/ math]. Numéricamente, obtuvimos los primeros [math] k [/ math] dígitos de [math] e [/ math] simplemente sustituyendo los valores por [math] c [/ math] que están “cerca” del infinito, es decir, valores grandes [matemáticas] c [/ matemáticas]. Sin embargo, otras aproximaciones también funcionan.

Answer 4

considere el siguiente resultado:
[matemáticas] (1 + 1 / c) ^ {c} = \ exp (\ ln (1+ 1 / c) c) [/ matemáticas] y el hecho de que [matemáticas] ln (1 + x) \ aprox x [ / matemática] cuando x tiende a 0. El resto viene naturalmente.

Answer 5

Esto es lo que creo que sucedió:

1. Alguien (creo que Euler) cuando estudiaba derivados e intereses compuestos encontró ese límite.
2. Noté que este límite convergía a una constante que él llamó ‘e’.
3. Al usar esta definición se encontró la expansión de Taylor de [matemáticas] e ^ x = 1+ \ frac x {1!} + \ Frac {x ^ 2} {2!} \ Ldots [/ math].
4. Por lo tanto, sustituyendo [math] x = 1 [/ math] pudo calcular numéricamente el valor de [math] e [/ math].

Answer 6

¡Los coeficientes binomiales son 1/0 !, c / 1 !, c (c-1) / 2 !, c (c-1) (c-2) / 3! etc., pero estos se multiplican por las potencias de 1 / c para dejar 1/0 !, 1/1 !, 1 (1-1 / c) / 2 !, 1 (1-1 / c) (1-2 / c) / 3! y cuando c llega al infinito, todas las fracciones molestas en los numeradores desaparecen para dejar los recíprocos de los factoriales, una serie que converge rápidamente.

Answer 7

Uno puede aproximar un límite de un polinomio simplemente conectando el límite. Como no podemos conectar el infinito, podemos conectar un número muy grande. Debido a que e es irracional, nunca puedes capturarlo por completo, pero al conectar números cada vez más grandes, la expresión se acercará a e. Intenta enchufar c = 1,000,000,000