Una prueba que he podido construir hasta ahora es bastante sencilla y tediosa.
Primero probémoslo para la situación [matemática] x_1 = x [/ matemática] y [matemática] x_2 = x_3 = \ ldots = x_n = y [/ matemática] con [matemática] 0 \ leq y \ leq x \ leq 1 .[/matemáticas]
En este caso [math] \ bar {x} = y + \ frac {1} {n} (xy). [/ Math] (+)
Por lo tanto, queremos probar para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle {x + xy + \ ldots + xy ^ {n-1} \ geq \ sum_ {i = 1} ^ n \ bar {x} ^ {~ i}} [/ matemáticas] con la igualdad siempre que [matemáticas] x = y. [/ matemáticas]
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Si [matemática] x = y, [/ matemática] la igualdad obviamente es válida. Esto incluye el caso [math] y = 1. [/ Math]
Si [math] y <1, [/ math] usando fórmulas para series geométricas podemos reescribir la desigualdad anterior como:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {x (1-y ^ n)} {1-y} \ geq \ frac {\ bar {x} (1 – (\ bar {x}) ^ n)} {1- \ bar {x}}}. [/ math] (*)
Tenga en cuenta que descartando todos los términos no lineales (no negativos) entre las potencias de [math] xy [/ math] en la expresión binomial llegamos a la siguiente estimación:
[matemáticas] {(\ bar {x}) ^ n = \ left (y + \ frac {1} {n} (xy) \ right) ^ n \ geq y ^ n + ny ^ {n-1} \ frac {xy} {n} = xy ^ {n-1}.} [/ math]
(Esto se sigue también fácilmente de “AM> = GM”.)
Así [matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ bar {x} (1 – (\ bar {x}) ^ n)} {1- \ bar {x}} \ leq \ frac {\ bar {x} (1 -xy ^ {n-1})} {1- \ bar {x}}.} [/ math]
Por lo tanto, en lugar de probar (*), demostremos una desigualdad aún más fuerte:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {x (1-y ^ n)} {1-y} \ geq \ frac {\ bar {x} (1 -xy ^ {n-1})} {1- \ bar {x}}.} [/ matemáticas] (**)
Haciendo un poco de álgebra básica obtenemos a través de la secuencia de transformaciones equivalentes las siguientes desigualdades:
[matemáticas] \ bar {x} (1-xy ^ {n-1}) (1-y) \ leq x (1-y ^ n) (1- \ bar {x}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] \ bar {x} (1-y + x-xy ^ {n-1}) \ leq x (1-y ^ n). [/ matemáticas]
Al conectar la expresión (+) para [math] \ bar {x} [/ math] obtenemos:
[matemáticas] y (1-y + x-xy ^ {n-1}) + \ frac {xy} {n} (1-y + x-xy ^ {n-1}) \ leq x (1-y ^ n). [/ matemáticas]
Recolectando los términos y factorizando [matemática] xy [/ matemática] obtenemos:
[matemáticas] (xy) (y-1) + \ frac {xy} {n} (1-y + x-xy ^ {n-1}) \ leq 0. [/ matemáticas]
Si [math] x \ neq y [/ math] es equivalente a:
[matemáticas] -n (1-y) + 1-y + x-xy ^ {n-1} \ leq 0 [/ matemáticas]
Factorizar el término [matemática] 1-y [/ matemática] da:
[matemáticas] (- n + 1) (1-y) + x (1-y ^ {n-1}) = (1-y) (-n + 1 + x (1+ y + \ ldots + y ^ { n-2})) <0 [/ matemáticas]
La última desigualdad es obvia y se convierte en igualdad cuando [math] y = 1 [/ math], el caso que excluimos del primero.
[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
Ahora estamos listos para volver a la desigualdad original y mostrarla por inducción en [math] n [/ math].
Si [math] n = 1, [/ math] la declaración es clara.
Suponga que la declaración es válida para [math] k \ leq n. [/ Math]
Luego tenemos: [matemáticas] \ displaystyle {S_n: = x_1 + x_1 x_2 + \ ldots + x_1 x_2 \ ldots x_n = x_1 + x_1 \ color {blue} {(x_2 + x_2 x_3 + \ ldots + x_2 x_3 \ ldots x_n )}.}[/matemáticas]
Ahora, utilizando la hipótesis de inducción, concluimos que:
[matemáticas] \ displaystyle {S_ {n-1} = x_2 + x_2 x_3 + \ ldots + x_2 x_3 \ ldots x_n \ leq \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} z ^ {i}}, [/ matemáticas]
donde [math] z [/ math] es el promedio de [math] x_2, x_3, \ ldots, x_n. [/ math]
Tenga en cuenta que [math] \ displaystyle {\ bar {x} = \ frac {(n-1) z + x_1} {n} = z + \ frac {x_1-z} {n}} [/ math] (!) .
Por lo tanto, [math] \ displaystyle {S_n \ geq x_1 + x_1 z + x_1 z ^ 2 + \ ldots + x_1 z ^ {n-1}.} [/ Math]
Entonces, el problema se reduce a la situación cubierta en la primera parte de la prueba.
Entonces, poniendo [matemáticas] x = x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = z [/ matemáticas], usando (!) Y la primera parte de la prueba que obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {S_n \ geq x_1 + x_1 z + x_1 z ^ 2 + \ ldots + x_1 z ^ {n-1} \ geq \ sum_ {i = 1} ^ n \ bar {x} ^ {~ i }.}[/matemáticas]
Además, la igualdad se alcanza si [math] z = x_1. [/ Math] Dado que [math] x_i [/ math] está ordenada, obliga a [math] x_1 = x_2 = \ ldots = x_n. [/ Math]