Cómo mostrar que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {\ sqrt {x \ sin (4x)}} [/ math] no existe

Answer 1

La sustitución directa produce, [math] \ dfrac {0} {0} [/ math], una forma indeterminada.

Aplicando la regla de L ‘Hospital

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ cos x} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {x \ sin 4x}} (4x \ cos 4x + \ sin 4x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ cos x} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {x \ sin 4x}} (4x \ cos 4x + \ sin 4x)} [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas]

Esto se está volviendo torpe, honestamente no sé si tiene un límite. Intentaré otra cosa …

Sabemos por pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] \ sen x \ approx \ tan x \ aproximadamente x [/ matemáticas]

Sustituimos [matemática] x = \ sen x [/ matemática] y [matemática] 4x = \ sen 4x [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {x} {\ sqrt {4x ^ 2}} = \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {x} {2 | x |} [/ math ]

Ahora sabemos que

[matemáticas] | x | = \ begin {ecuación} \ begin {cases} x & x \ geq 0 \\ – x & x <0 \ end {cases} \ end {ecuación} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ dfrac {x} {\ sqrt {4x ^ 2}} = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {x} {2x} = \ dfrac { 1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0 ^ -} \ dfrac {x} {\ sqrt {4x ^ 2}} = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {x} {- 2x} = – \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin x} {\ sqrt {x \ sin 4x}} = DNE [/ math]

Answer 2

Primero, reconozcamos que para [matemáticas] x \ en [- \ frac {\ pi} {8}, \ frac {\ pi} {8}] [/ matemáticas], [matemáticas] x \ sin {4x} \ geq0 [ / math] y la expresión dada es una función impar de valor real.

Ahora use expansiones de Mclaurin para el numerador y el denominador, seguidas de evaluaciones de límites desde ambos extremos.

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow0 ^ +} \ frac {\ sin x} {\ sqrt {x \ sin (4x)}} = \ lim_ {x \ rightarrow0 ^ +} \ frac {x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots} {\ sqrt {4x ^ 2- \ frac {64x ^ 4} {3!} + \ Cdots}} [/ math ]
[matemáticas] = \ lim_ {x \ rightarrow0 ^ +} \ frac {1- \ frac {x ^ 2} {3!} + \ cdots} {\ sqrt {4- \ frac {64x ^ 2} {3!} + \ cdots}} [/ math] dividiendo el numerador y el denominador por [math] x [/ math]
[matemáticas] =. 5 [/ matemáticas]

Para evaluar el límite izquierdo, considere otra variable [matemática] y = -x [/ matemática]. Entonces el límite izquierdo se convierte en

[math] = – \ lim_ {y \ rightarrow0 ^ +} \ frac {\ sin y} {\ sqrt {y \ sin (4y)}} [/ math]
[matemáticas] = -. 5 [/ matemáticas]

Las evaluaciones de los límites individuales son en realidad redundantes si observa que
[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow0 ^ -} \ frac {\ sin x} {\ sqrt {x \ sin (4x)}} = – \ lim_ {x \ rightarrow0 ^ +} \ frac {\ sin x} { \ sqrt {x \ sin (4x)}} [/ math] y de alguna manera demuestra que [math] \ lim_ {x \ rightarrow0 ^ -} \ frac {\ sin x} {\ sqrt {x \ sin (4x)}} \ neq0 [/ math].

Answer 3

[matemáticas] \ sin {x} = \ sqrt {(\ sin {x}) ^ 2} [/ matemáticas].

Obtenemos:

[matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ sin {x} \ sin {x}} {x \ sin {4x}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ sin {x}} {x} = 1 [/ matemáticas], por lo que nos queda:

Prueba: lim (sin x) / x

[matemáticas] \ sqrt {\ frac {\ sin {x}} {\ sin {4x}}} [/ matemáticas].

que es [math] \ frac {0} {0} [/ math].

Usa la regla de L’Hopital para calcular el límite dentro de la raíz cuadrada.

[matemáticas] \ frac {\ cos {x}} {4 \ cos {4x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {\ frac {1} {4}} = 1/2 [/ matemáticas]

Si no se permite L’Hopital, probablemente sea tarea, y te quedará:

[matemáticas] \ sin {2a} = 2 \ sin {a} \ cos {a} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos {2a} = (\ cos {a}) ^ 2 – (\ sin {a} ) ^ 2 [/ matemáticas]

para resolver el resto.

Answer 4

Primera nota que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x = 1 [/ math]. Ese es un límite bien conocido. Por eso, puede reemplazar [matemática] \ sen x [/ matemática] por [matemática] x [/ matemática], y [matemática] \ sen 4x [/ matemática] por [matemática] 4x [/ matemática] en su límite. Entonces tu límite se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac x {\ sqrt {4x ^ 2}} = \ tfrac12 \ lim_ {x \ to0} \ frac x {| x |} [/ math]

Pero [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac x {| x |} [/ math] no existe porque el límite derecho es [math] 1 [/ math] mientras que el límite izquierdo es [math] -1 [/ matemáticas].

Answer 5

Es una función extraña. Si del lado derecho de cero tiende a A, entonces del lado izquierdo de cero tiende a -A. Solo si A era cero podemos dibujar una línea continua. Si la función hubiera sido pareja, entonces no habría habido problemas. El límite se puede encontrar multiplicando y dividiendo el número dentro de la raíz cuadrada por 4x. Aplicando límite obtenemos A como 1/2

Answer 6

Verifique el límite desde ambos lados y vea si están de acuerdo (es decir, 0 más y 0 menos).

Además, verifique si esta es una función, es decir, si hay un valor único de y para x en 0.

Answer 7

Divide el numerador y el denominador entre 2x. Luego toma el lim x → 0. El numerador se acerca a 1/2 y

Denominador se acerca a 1. Por lo tanto, el resultado es 1/2.