Problemas de la forma
[matemáticas] n \ log n = X [/ matemáticas]
o
[matemáticas] n ^ n = X [/ matemáticas]
Se puede resolver en términos generales utilizando la función Lambert W. Esto funciona de manera más directa cuando usamos el logaritmo natural, pero podemos convertir su problema en esta forma, ya que
[matemáticas] n \ log_ {10} n = n \ frac {\ ln n} {\ ln 10} [/ matemáticas]
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Entonces, tu pregunta es equivalente a
[matemáticas] n \ ln n = \ ln 10 * 10 ^ 9/2 [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] n = e ^ {W (\ ln 10 * 10 ^ 9/2)} [/ matemáticas]
La rama primaria de la W tiene un comportamiento asintótico:
[matemáticas] W_0 (x) = \ ln x – \ ln \ ln x + o (1) [/ matemáticas]
Para que pueda obtener un valor aproximado como:
[matemáticas] W (\ ln 10 * 10 ^ 9/2) \ approxeq 17.83 [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] n \ approxeq 5 * 10 ^ 7 [/ matemáticas]. (Parece que [matemáticas] 10 ^ 9 [/ matemáticas] no es lo suficientemente grande como para que la aproximación asintótica sea particularmente cercana).
Para obtener una respuesta más precisa, deberá escribir código que converja iterativamente en una solución. Puede hacerlo con una variedad de métodos numéricos: Newton-Raphson es un enfoque estándar, pero requiere calcular la derivada. Si eres demasiado vago para eso, la búsqueda binaria también funciona pero lleva más tiempo. 🙂 Pero realmente, es mejor usar un paquete numérico estándar que ya tenga definida la función Lambert W.