Si x + y = 5 y x ^ y + y ^ x = 17, ¿cuál es el valor de x e y?

Bueno, tenga en cuenta que estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación [matemática] x ^ {5-x} + \ left (5-x \ right) ^ x = 17 [/ math]. También tenemos las dos soluciones 2 y 3, ahora queremos demostrar que no hay otra solución (no entera).

Primero, necesitamos limitarnos al dominio donde esto podría funcionar. Deberíamos evitar combinar bases negativas con exponentes no enteros. Esto significa que de los valores negativos de x solo podemos elegir los integrales. Ahora [math] x ^ y [/ math] se vuelve bastante grande (quizás además de x = -1) y [math] y ^ x [/ math] se vuelve más pequeño que 1 (de nuevo, quizás además de x = -1); comprobar si x = -1 es una solución revela que [matemáticas] 1+ \ frac16 = 17 [/ matemáticas], lo cual es falso.

Esto significa que solo podemos apostar por reales positivos. PERO: también podemos trabajar con la parte y para encontrar que y también sufre las mismas limitaciones: debe ser un real positivo, por lo tanto, [math] 5-x \ geq0 [/ math] o [math] x \ leq5 [/ math ] Por lo tanto, podemos trabajar con seguridad en el intervalo [0; 5].

Ahora tenemos nuestro dominio, así que obtengamos una derivada. [matemáticas] f ‘\ left (x \ right) = – \ log x \ cdot x ^ {5-x} + \ log \ left (5-x \ right) \ cdot \ left (5-x \ right) ^ x [/ matemáticas]. Como los puntos finales tienen derivada infinita, calculemos los valores de la función. Obtiene f (0) = – 16 yf (5) = – 16 nuevamente. De hecho, solo debemos buscar las soluciones en interfal [math] \ left (0; \ frac52 \ right) [/ math] ([math] \ frac52 [/ math] no es una solución: [math] \ left (\ frac52 \ right) ^ \ frac52 \ neq \ frac {17} 2 [/ math])

Ahora, podemos ver que [math] f \ left (\ frac52 \ right)> 0 [/ math], lo que significa que debe haber al menos una raíz. Pero verifiquemos el signo de la derivada. El logaritmo es negativo como [matemática] 2.5 = \ frac52 \ lt e \ approx2.7 [/ matemática]; así, la primera parte es positiva. Sin embargo, la parte derecha tiene un logaritmo negativo, sin embargo, la base es más grande … Si la derivada alguna vez se vuelve negativa, sería interesante verificar cualquier mínimo que obtenga. Función desagradable …

La derivada será positiva y alcanzará 0 justo al final del intervalo que miro; así [math] f \ left (\ frac52 \ right) [/ math] es en realidad el máximo.

Si hace la tabla ahora, verá que hay exactamente 2 soluciones; y las soluciones son x = 2 yx = 3.

LA RESPUESTA PUEDE SER MAL, PERO CIERTAMENTE PROPORCIONA ALGUNA VISIÓN

Cómo mostrar que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {\ sqrt {x \ sin (4x)}} [/ math] no existe

Cómo usar Matlab para evaluar [matemáticas] \ int ^ 1_0 \ int ^ 1_0 \ int ^ 1_0 \ frac {1} {(xyz) ^ {xyz}} ~ \ mathrm {d} x ~ \ mathrm {d} y ~ \ mathrm {d} z [/ math]

¿Cómo se resolvió la ecuación de [math] \ lim_ {c \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {c} \ right) ^ c = e [/ math] para [math] e [/ math ]?

Is [math] p (t) = a + t ^ 2 [/ math] donde [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math] un subespacio de [math] \ mathbb {P} _ {2} [ /matemáticas]?

¿Qué universidad debo elegir de las siguientes universidades que figuran en la descripción?

Deje que [math] F_n [/ math] denote el término [math] n [/ math] th en la secuencia de Fibonacci. ¿Cómo se prueba que [matemáticas] F_ {n + 1} ^ 2 + F_ {n} ^ 2 = F_ {2n + 1} [/ matemáticas]?

Suponga que [math] x [/ math] es real. Los contornos de nuestro enfoque:

1. [matemática] x, y [/ matemática] son simétricas, y la función [matemática] x ^ y + y ^ x [/ matemática] es simetría acerca de [matemática] x = 2.5 [/ matemática].

2. Dividimos la región [math] x [/ math] en [math] 0

3. Definimos [math] h (x) = x ^ {5-x} + (5-x) ^ x [/ math], y llamaremos a [math] h (x) [/ math] la función. Mostramos que la función es un aumento estrictamente monótono en la región [matemáticas] 0

4. Mostramos que la función no tiene solución en la región [math] x \ le 0 [/ math], por lo tanto [math] (x, y) = (2, 3) [/ math] o [math] (x, y ) = (3, 2) [/ math] son las dos únicas soluciones.

La observación de 1 es obvia. Seguimos adelante para mostrar 3.

Tomamos nota (ver la prueba al final)

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} f (x) ^ {g (x)} = f (x) ^ {g (x)} g ^ {‘} (x) \ ln f (x) + f (x) ^ {g (x) -1} g (x) f ^ {‘} (x) [/ math]

así,
[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} h (x) = \ dfrac {d} {dx} x ^ {5-x} + (5-x) ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ {5-x} (-1) \ ln x + x ^ {4-x} (5-x) + (5-x) ^ x \ ln (5-x) + (5- x) ^ {x-1} x (-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ {5-x} (\ dfrac {5-x} {x} – \ ln x) + (5-x) ^ x (\ dfrac {-x} {5-x} + \ ln (5-x)) [/ matemáticas]

Tenemos dos observaciones, I. si [math] x \ le 2.3 [/ math], ambos términos de la última expresión son positivos, por lo que la función en el rango [math] 0

Encontramos la segunda derivada de la función,
[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} h (x) = \ dfrac {d} {dx} (x ^ {5-x} (\ dfrac {5-x} {x} – \ ln x) + (5-x) ^ 5 (\ dfrac {-x} {5-x} + \ ln (5-x))) [/ math]

[matemáticas] = x ^ {5-x} (\ dfrac {5-x} {x} – \ ln x) ^ 2 + x ^ {5-x} (\ dfrac {-5} {x ^ 2} – \ dfrac {1} {x}) + [/ matemáticas] [matemáticas] (5-x) ^ x (\ dfrac {-x} {5-x} + \ ln (5-x)) ^ 2+ (5 -x) ^ x (\ dfrac {-5} {(5-x) ^ 2} – \ dfrac {1} {5-x}) [/ math]

[matemáticas] = x ^ {5-x} (\ dfrac {x ^ 2-11x + 20} {x ^ 2} – \ dfrac {2 (5-x)} {x} \ ln x + \ ln ^ 2 x) + [/ matemáticas] [matemáticas] (5-x) ^ x (\ dfrac {x ^ 2 + x-10} {(5-x) ^ 2} – \ dfrac {2x} {5-x} \ ln (5-x) + \ ln ^ 2 (5-x)) [/ math].

Tenemos dos observaciones más, III. [matemática] x [/ matemática] en el rango [matemática] 2.3 \ le x \ le 2.5 [/ matemática], están todas entre las raíces de [matemática] x ^ 2-11x + 20 [/ matemática], por lo tanto, el valor será negativo después de aplicar [matemáticas] x [/ matemáticas]. Argumento similar, el valor de [matemáticas] x ^ 2 + x-10 [/ matemáticas] es negativo. IV. [math] – \ dfrac {2 (5-x)} {x} \ ln x + \ ln ^ 2 x [/ math] es negativo en el rango [math] 2.3 \ le x \ le 2.5 [/ math] ( de la convexidad de [matemáticas] x \ ln x [/ matemáticas], la linealidad de [matemáticas] 5-x [/ matemáticas], y el valor de [matemáticas] – \ dfrac {2 (5-x)} {x} \ ln x + \ ln ^ 2 x [/ math] es negativo en los puntos finales [math] x = 2.3, 2.5 [/ math].) De manera similar [math] – \ dfrac {2x} {5-x} \ ln ( 5-x) + \ ln ^ 2 (5-x) [/ math] es negativo en el rango [math] 2.3 \ le x \ le 2.5 [/ math].

Combine II, III, IV, hemos demostrado que la función en el rango [matemática] 2.3

Para mostrar 4, observamos que el valor de la función es complejo no real, excepto en el valor entero cuando [math] x \ le 0 [/ math]. Porque [math] (5-x) ^ x [/ math] es real, y [math] x ^ {5-x} = (-x) ^ {5-x} e ^ {i \ pi (5-x )} [/ math] es complejo no real, si [math] x [/ math] no es entero.

Si [math] x = 0, -1, -2, -3, \ cdots [/ math], podemos verificar [math] (5-x) ^ x \ le 1 [/ math] y [math] x ^ {5-x} [/ math] comienza con 0, luego cambia entre positivo y negativo, dependiendo de que (5-x) sea par o impar, y [math] x ^ {5-x} [/ math] también divergen . Podemos verificar los primeros [math] x [/ math] en la función [math] h (x) = 1, 1 \ dfrac {1} {6}, -127 \ dfrac {48} {49}, 6561 \ dfrac {1} {512}, \ cdots [/ math]. No hay solución con [matemáticas] h (x) = 17 [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x = 0, -1, -2, -3, \ cdots [/ matemáticas]. A partir de 3., y la simetría de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], concluimos [matemáticas] (x, y) = (2, 3) [/ matemáticas] o [matemáticas] (x, y) = (3, 2) [/ math] son las dos únicas soluciones. QED

Ahora demostramos [matemáticas] \ dfrac {d} {dx} f (x) ^ {g (x)} = f (x) ^ {g (x)} g ^ {‘} (x) \ ln f (x ) + f (x) ^ {g (x) -1} g (x) f ^ {‘} (x) [/ math],

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} f (x) ^ {g (x)} = \ dfrac {d} {dx} e ^ {g (x) \ ln f (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {g (x) \ ln f (x)} (g ^ {‘} (x) \ ln f (x) + \ dfrac {g (x)} {f (x)} f ^ {‘} (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = f (x) ^ {g (x)} g ^ {‘} (x) \ ln f (x) + f (x) ^ {g (x) -1} g (x) f ^ { ‘} (x) [/ matemáticas]

Badarinath Hs

Como en este caso, las ecuaciones son simétricas [la solución de significado para (x, y) también sería una solución para (y, x)], y mediante inspección solo tiene dos pares de prueba (1,4) y (2,3 ) , por lo tanto, es más fácil y rápido sustituir los valores en la segunda ecuación.

En este caso, (2,3) es la respuesta

David Joyce

El valor de [matemática] x = 2, y = 3 [/ matemática] o [matemática] x = 3, y = 2 [/ matemática] ( Dado que ambas ecuaciones son simétricas, es decir, trazar en el sistema cartesiano dará la misma solución usando cualquier combinación )

Al sustituir cualquiera de las dos combinaciones, ambas ecuaciones quedan satisfechas.

[matemáticas] 2 + 3 = 5,2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 8 + 9 = 17 [/ matemáticas]

Así x = 2, y = 3 o x = 3, y = 2 las soluciones deseadas.

David Joyce

La ecuación es muy difícil de resolver matemáticamente.

x ^ y e y ^ x están en la ecuación, por lo que es una ecuación dimensional variable para dar una prueba matemática.

La mejor suposición (que cualquiera puede encontrar y definitivamente no está pidiendo el autor) es 2 y 3

La posible prueba matemática es sustituirlos en las ecuaciones para verificar si ambos lados coinciden

2 + 3 = 5 => 5 = 5

2 ^ 3 + 3 ^ 2 = 8 + 9 = 17

David Joyce

Al mirarlo x = 2 e y = 3, lo que da x + y = 5.