Para determinar si un número es primo o compuesto, lo dividimos por todos los números entre 2 y la raíz cuadrada del número. ¿Por que es esto entonces? ¿Por qué no vamos más allá de la raíz cuadrada del número?

Answer 1

Esto es fácil de visualizar. Dibujaré un esquema sin mucho rigor matemático.

Tomemos el número 36. Sabemos a ciencia cierta su composición, pero como dije, solo queremos visualizar las cosas.

Factorizamos 36:
[matemáticas] 36 = 1 \ veces 36 [/ matemáticas]
[matemáticas] 36 = 2 \ veces 18 [/ matemáticas]
[matemáticas] 36 = 3 \ por 12 [/ matemáticas]
[matemáticas] 36 = 4 \ por 9 [/ matemáticas]
[matemáticas] 36 = 6 \ veces 6 [/ matemáticas]
Nos detenemos aquí ya que después de esto los factores comienzan a volverse repetitivos.

Mire la factorización cuidadosamente. He escrito cosas son dos columnas para mayor claridad. En la columna izquierda, los factores aumentan a medida que baja. En la columna de la derecha, disminuye a medida que baja.

Puede obtener todos los factores de 36 atravesando la columna izquierda primero hacia abajo y luego hacia la derecha, de abajo hacia arriba.

Como 36 es un cuadrado perfecto, el factor más alto en la columna izquierda es 6, y también el número más bajo en la columna derecha es 6.

Ahora intentaremos averiguar si 36 es compuesto, dividiéndolo con números que comiencen por 2.
Uno por uno, aprendemos que 2,3 y 6 divide 36.
Ahora supongamos que intentamos dividir 36 entre [matemáticas] x> 6 [/ matemáticas] para averiguar si es compuesto. Supongamos que divide 36 y nos da el resultado [math] y [/ math]. Pero seguramente aceptará que [matemáticas] y <6 [/ matemáticas]. Pero entonces [matemáticas] y [/ matemáticas], que es menor que 6, también debe dividir 36.

¡Pero ya hemos tratado de dividir 36 entre todos los números del 2 al 6! Seguramente si [math] y [/ math] divide 36, y de hecho es menor que 6 (que debe ser), entonces [math] y [/ math] debe estar entre 2,3 y 6, que son los factores que ¡ya tengo!

Creo que ahora está claro por qué no debemos tratar de dividir 36 entre cualquier número mayor que 6.

Para un cuadrado perfecto, el último valor de la columna izquierda y el último valor de la columna derecha es el mismo.
En general, el último valor de la columna izquierda siempre será menor que el último valor de la columna derecha.
Entonces, el valor máximo que puede tener el último valor de la columna izquierda es la raíz cuadrada del número.
Entonces, en general, si divide el número entre todos los números del 2 a su raíz cuadrada, ¡habrá obtenido todos los factores automáticamente!

Si suponemos que ningún número entre 2 y su raíz cuadrada lo divide, entonces ningún número mayor que su raíz cuadrada puede, porque entonces, por la lógica anterior, el cociente tendría que ser menor que la raíz cuadrada, pero esto está en contradicción directa ¡con nuestra suposición de que ningún número del 2 a su raíz cuadrada lo divide!

Answer 2

La raíz cuadrada es como una marca a medio camino. Si no fuera primo, se dividiría exactamente, ¡dándote un número a cada lado de la raíz!

Tomemos, por ejemplo, 291 con una raíz cuadrada, una marca por encima de 17. Dividir entre 3 le da exactamente 97 sin resto. Del mismo modo, si continúa más allá, el número debajo de la raíz aumentará y el número por encima de la raíz disminuirá, hasta que llegue a la raíz 🙂 si avanza más allá de la raíz obtendrá los mismos números, ¡lo cual sería una repetición!

Answer 3

Digamos que está tratando de averiguar si un no, digamos x, es primo o compuesto.

Podríamos escribir x = sqrt (x) * sqrt (x)

Digamos que x es compuesto y, por lo tanto, x podría representarse como,
x = a * b = sqrt (x) * sqrt (x)

Para mantener la respuesta de la multiplicación igual,
Caso 1: Si a> sqrt (x) entonces necesariamente, b Caso 2: Si a sqrt (x)

Entonces, si x es compuesto, entonces necesariamente tiene un factor que es menor que sqrt (x) y si no existe dicho factor, eso significa que es un no primo.