Intentando encontrar el valor de la suma dada como se menciona en la pregunta con la ayuda de Mathematica, el resultado obtenido implica una relación de recurrencia o una secuencia holonómica (ver, por ejemplo, el artículo Función holonómica – Wikipedia).
Tenga en cuenta que usando la definición de la función gamma
[matemáticas] n! = \ Gamma (n + 1) [/ matemáticas]
los términos en la suma generalmente se pueden escribir como:
- Si xyz = 1, entonces ¿cómo puedo demostrar que [matemáticas] (1 + x + y ^ {- 1}) ^ {- 1} + (1 + y + z ^ {- 1}) ^ {- 1} + (1 + z + x ^ {- 1}) ^ {- 1} = 1 [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que la igualdad [matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} x ^ {nk} y ^ k [/ matemáticas] es válida para todo [matemáticas] x, y
- Deje que [math] F_n [/ math] denote el término [math] n [/ math] th en la secuencia de Fibonacci. ¿Cómo se prueba que [matemáticas] F_ {n + 1} ^ 2 + F_ {n} ^ 2 = F_ {2n + 1} [/ matemáticas]?
- Si x + y = 5 y x ^ y + y ^ x = 17, ¿cuál es el valor de x e y?
- Cómo demostrar que [math] \ frac {-1+ \ sqrt {3} i} {2} [/ math] es una raíz cúbica de [math] 1 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {r (r + 1) (n-2)!} {(n-1) ^ r (nr-1)!} = \ frac {r (r + 1) \ Gamma (n -1)} {(n-1) ^ r \ Gamma (nr)} [/ math]
Reemplazando [math] n-1 [/ math] por [math] na [/ math] en el límite superior de la suma y escribiendo el código:
FullSimplify [Sum [(r * (r + 1) * (n – 2)!) / ((N – 1) ^ r * (n – r – 1)!),
{r, 0, n – a}]]
El resultado obtenido es:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {na} \ frac {r (r + 1) (n-2)!} {(n-1) ^ r (nr-1)!} = \ frac {(n-1) ^ {- n} \ Gamma (n-1) \ left (e (a-2) (an) (n-1) ^ ae ^ n (n-1) ^ 2 \ Gamma ( a, n-1) \ right)} {e \ Gamma (a)} + \ frac {e ^ {n-1} (n-1) ^ 2 E _ {- n} (n-1)} {n} + \ frac {1} {n} -1 [/ matemáticas]
[matemática] e [/ matemática] es la base de los logaritmos naturales, y [matemática] E_n (x) [/ matemática] es la integral exponencial generalizada dada por:
[matemáticas] \ displaystyle E_ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \, dt [/ math]
El valor de la suma de [math] a = 1 [/ math] se puede encontrar con Mathematica escribiendo el código:
Completo Simplificar [-1 + 1 / n + (E ^ (- 1 + n) * (- 1 + n) ^ 2 * ExpIntegralE [-n, -1 + n]) / n +
(Gamma [-1 + n] * ((- 2 + a) * E * (a – n) * (- 1 + n) ^ a – E ^ n * (- 1 + n) ^ 2 *
Gamma [a, -1 + n])) / ((- 1 + n) ^ n * (E * Gamma [a])) /. a -> 1]
El resultado o respuesta obtenida es:
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ sum _ {r = 0} ^ {n-1} \ frac {r (r + 1) (n-2)!} {(n-1) ^ r (nr-1 )!} = \ frac {(n-1) \ left (e ^ n (n-1) E _ {- n} (n-1) -e \ right)} {e * n}} [/ math]
La aproximación numérica [matemática] \ displaystyle \ frac {81 \ sqrt {n}} {64} [/ matemática] a la suma dada da a los primeros valores numéricos menores que los valores de suma para la misma [matemática] n [/ matemática] , luego, aproximadamente [math] n = 2847 [/ math], los valores numéricos dados por [math] \ displaystyle \ frac {81 \ sqrt {n}} {64} [/ math] se vuelven progresivamente y cada vez más grandes que los correspondientes Sumar valores numéricos (verificado con Mathematica).
También se puede verificar que la suma no converge si el límite superior de la suma es [math] n = \ infty [/ math].