Cómo demostrar que la igualdad [matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} x ^ {nk} y ^ k [/ matemáticas] es válida para todo [matemáticas] x, y

Answer 1

Pongamos un ejemplo. (x + y) ^ 5 = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)

Intentemos encontrar el coeficiente de x ^ 3 * y ^ 2. Esto es equivalente a decir: si “caminamos” una ruta a través de cada uno de los factores (x + y) y elegimos x o y, ¿cuántas rutas diferentes resultan en que elijamos 3 x’s y 2 y’s?

Bien, veamos. Primero, está claro que solo necesitamos mirar las x, ya que una vez que hayamos elegido 3 x, tendremos que elegir de facto 2 y de los otros factores.

¿Cuántas opciones tenemos para elegir las x? Bueno, la primera x podemos elegir entre 5 opciones diferentes, la segunda x entre 4 opciones diferentes y la tercera x entre 3 opciones diferentes. Entonces parece que nuestro número es 5 * 4 * 3 = 5! / 2 !. ¡Pero espera! Hemos contado en exceso.

¿Por qué? Bueno, digamos que tomamos x del primer, segundo y tercer factor. Ese es un camino, ¿verdad? Bueno, ¿y si tomamos x del segundo, primer y tercer factores? La forma en que lo estamos contando, son dos caminos diferentes, a pesar de que claramente no lo son. ¿Por cuánto estamos contando en exceso? Esto debería ser bastante claro para usted, y si no, intente demostrarlo: ¡estamos contando cada ruta exactamente 6 = 3! veces en lugar de uno.

Por lo tanto, dividimos nuestro número anterior (5! / 2!) Por 6 y obtenemos que el coeficiente de x ^ 3 * y ^ 2 es 5! / (2! * 3!).

¿Puedes generalizar este proceso?

Answer 2

Se me ha permitido dar esto por sentado en cualquiera de las pruebas cortas que he realizado, pero eventualmente asumo que tendré que probarlo, y prefiero usar solo cosas que sé que puedo probar.