Si xyz = 1, entonces ¿cómo puedo demostrar que [matemáticas] (1 + x + y ^ {- 1}) ^ {- 1} + (1 + y + z ^ {- 1}) ^ {- 1} + (1 + z + x ^ {- 1}) ^ {- 1} = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Chanakya dio la respuesta correcta. Pero, este es otro método. Un poco largo y complejo también.

Dado xyz = 1
xy = 1 / z, yz = 1 / x, xz = 1 / y

La expresión a evaluar es 1 / (1 + x + 1 / y) + 1 / (1 + y + 1 / z) + 1 / (1 + z + 1 / x)

Ahora considera
1 / (1 + x + 1 / y) = y / (y + xy + 1) ————- (1
= y / (y + 1 / z + 1) = yz / (yz + 1 + z)
= yz / (1 / x + 1 + z) = (1 / x) / (1 / x + 1 + z)

De arriba obtenemos (usando la razón y la proporción a / c = b / d = (a + b) / (c + d)]
1 / (1 + x + 1 / y) = y / (y + 1 / z + 1) = (1 / x) / (1 / x + 1 + z) = [1+ y + 1 / x] / [(1 + x + 1 / y) + (y + 1 / z + 1) + (1 / x + 1 + z)] ————————– 1

O
1 / (1 + x + 1 / y) = [1+ y + 1 / x] / [(1 + x + 1 / y) + (y + 1 / z + 1) + (1 / x + 1 + z)] ——- (A)

Reemplazando x por y e y por z y z por x obtenemos
1 / (1 + y + 1 / z) = [1+ z + 1 / y] / [(1 + y + 1 / z) + (z + 1 / x + 1) + (1 / y + 1 + x)] ——- (B)

Y de nuevo x por y e y por z y z por x obtenemos
1 / (1 + z + 1 / x) = [1+ x + 1 / z] / [(1 + z + 1 / x) + (x + 1 / y + 1) + (1 / z + 1 + y)] ——— (C)

Observamos que en todos los casos A, B, C el denominador es el mismo o = [(1 + 1 + 1) + (x + y + z) + (1 / x + 1 / y + 1 / z)]

Ahora agregando LHS de (A + B + C) = Agregando RHS OF (A + B + C)

1 / (1 + x + 1 / y) + 1 / (1 + y + 1 / z) + 1 / (1 + z + 1 / x)
= {[1+ y + 1 / x] + [1+ z + 1 / y] + [1+ x + 1 / z]} / [(1 + 1 + 1) + (x + y + z) + (1 / x + 1 / y + 1 / z)]
= 1
Por lo tanto, la expresión dada tiene valor = 1

Editar: error tipográfico menor en la fórmula anterior corregida o a / c = b / d = (a + b) / (c + d)]

Answer 2

Dado que [matemáticas] xyz = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ {- 1} = xz [/ matemáticas] y [matemáticas] \ implica y = (xz) ^ {- 1} [/ matemáticas].

La idea clave es escribir [matemáticas] y [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] x, z [/ matemáticas].

Ahora,

[matemáticas] \ dfrac {1} {(1 + x + y ^ {- 1})} + \ dfrac {1} {(1 + y + z ^ {- 1})} + \ dfrac {1} {( 1 + z + x ^ {- 1})} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {(1 + x + xz)} + \ dfrac {1} {(1+ (xz) ^ {- 1} + z ^ {- 1})} + \ dfrac {1 } {(1 + z + x ^ {- 1})} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {(1 + x + xz)} + \ dfrac {xz} {(xz + 1 + x)} + \ dfrac {x} {(x + xz + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {(1 + x + xz)} + \ dfrac {xz} {(1 + x + xz)} + \ dfrac {x} {(1 + x + xz)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1 + x + xz} {(1 + x + xz)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {1} {(1 + x + y ^ {- 1})} + \ dfrac {1} {(1 + y + z ^ {- 1})} + \ dfrac {1} {(1 + z + x ^ {- 1})} = 1 [/ matemáticas]

Nota: Puede seleccionar cualquier variable entre [matemática] x, y, z [/ matemática] y escribir interms de otras dos.

Answer 3

Deje que [matemáticas] A = 1 + x + \ frac {1} {y} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] B = 1 + y + \ frac {1} {z} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] C = 1 + z + \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Es posible que desee multiplicar [matemáticas] A [/ matemáticas] con [matemáticas] y [/ matemáticas] para obtener:

[matemáticas] Ay = y + xy + 1 [/ matemáticas]

Como [math] xyz = 1 [/ math], sabemos que [math] xy = \ frac {1} {z} [/ math]

Por lo tanto, es fácil ver que:

[matemáticas] Ay = B [/ matemáticas]

Usando el razonamiento similar, ¿puedes mostrar que [matemáticas] Bz = C [/ matemáticas] y [matemáticas] Cx = A [/ matemáticas]?

Entonces:

[matemáticas] \ frac {1} {A} + \ frac {1} {B} + \ frac {1} {C} = \ frac {1} {A} + \ frac {1} {Ay} + \ frac {1} {Bz} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {A} + \ frac {1} {Ay} + \ frac {1} {Ayz} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {yz + z + 1} {Ayz} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ frac {1} {x} + z + 1} {Bz} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {C} {C} = 1 [/ matemáticas]

Answer 4

En lugar de resolverlo en términos de x, y, z hay un truco para resolverlo. Como en el examen competitivo, no tendrá tiempo suficiente para resolver cada pregunta.

Dado [math] xyz = 1, [/ math] pon [math] x = 1, y = 1 & z = 1 [/ math] luego [math] xyz = 1. [/ Math]

Ahora ponga estos valores en la parte LHS de la ecuación dada,

Conseguirás-

[matemáticas] (1 + 1 + 1) ^ – 1 + (1 + 1 + 1) ^ – 1 + (1 + 1 + 1) ^ – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1/3 + 1/3 + 1/3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Ahora, debe estar pensando que hay valores infinitos para los que se cumple la ecuación [math] xyz = 1 [/ math].

Tomemos otro valor agregado

[matemática] x = 1/2, y = 2, z = 1 [/ matemática] Entonces [matemática] xyz = 1 [/ matemática]

Ahora ponga estos valores en la ecuación,

conseguirás-

[matemáticas] (1 + 1/2 + 1/2) ^ – 1 + (1 + 2 + 1) ^ – 1 + (1 + 1 + 2) ^ – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1/2 + 1/4 + 1/4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1/2 + 1/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

¡HECHO!

Gracias.

Answer 5

Se da que [matemáticas] xyz = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto [matemáticas] xy = z ^ -1 [/ matemáticas]

Ahora la ecuación:

[matemáticas] LHS: (1 + x + y ^ -1) ^ – [/ matemáticas] [matemáticas] 1 [/ matemáticas] [matemáticas] + (1 + y + z ^ -1) ^ – [/ matemáticas] [ matemática] 1 [/ matemática] [matemática] + (1 + z + x ^ -1) ^ – [/ matemática] [matemática] 1 [/ matemática] [matemática] = (1 + x + 1 / a) ^ – 1 [/ matemática] [matemática] + (1 + y + xy) ^ – 1 [/ matemática] [matemática] + (1 + 1 / xy + 1 / x) ^ – 1 = {(y + xy + 1) / y} ^ – 1 + {(y + xy + 1) / 1} ^ – 1 + {(y + xy + 1) / xy} ^ – 1 = (y / 1 + xy + y) + (1 / 1 + xy + y) + (xy / 1 + xy + y) = {(y + xy + 1) / (y + xy + 1)} = 1 [/ matemática]

[matemáticas] RHS: 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto [matemáticas] LHS = RHS [/ matemáticas]

por lo tanto demostrado

Answer 6

xyz = 1

1 / y = xz

similar,

1 / z = xy, 1 / x = yz

1 / (1 + x + xz) + 1 / (1 + y + xy) + 1 / (1 + z + yz)

= y / y * (1/1 + x + xz) + 1 / (1 + y + xy) + xy / xy * (1/1 + z + yz)

= (y / y + yx + xyz) + 1 / (1 + y + xy) + (xy / xy + xyz + xy * yz)

= y / y + xy + 1 + 1 / (1 + y + xy) + {xy / xy + 1 + (xyz * y)} …………… .. (xyz = 1)

= y / y + xy + 1 + 1 / (1 + y + xy) + xy / xy + 1 + (1 * y)

= y / y + xy + 1 + 1 / (1 + y + xy) + xy / xy + 1 + y

= y + 1 + xy / y + xy + 1

= 1

Answer 7

Deje [math] (1 + x + \ dfrac {1} {y}) = t [/ math], luego [math] yt = 1 + y + xy [/ math]

Considere, [matemáticas] (1 + y + \ dfrac {1} {z}) [/ matemáticas]. Multiplica y divide por [matemáticas] xz [/ matemáticas].

[matemáticas] \ dfrac {xz + xyz + x} {xz} = y (1 + x + \ dfrac {1} {y}) = yt [/ matemáticas]… ..utilizando [matemáticas] xyz = 1 [/ matemáticas]

Considere, [matemáticas] (1 + x + \ dfrac {1} {y}) [/ matemáticas]. Multiplica y divide por [matemáticas] yz [/ matemáticas].

[matemáticas] \ dfrac {yz + xyz + z} {yz} = \ dfrac {(1 + z + \ dfrac {1} {x})} {yz} [/ matemáticas]

es decir, [matemáticas] \ dfrac {yzt} {yz} = \ dfrac {(1 + z + \ dfrac {1} {x})} {yz} [/ matemáticas]

es decir, [matemáticas] yzt = (1 + z + \ dfrac {1} {x}) [/ matemáticas]

es decir, [math] (1 + z + \ dfrac {1} {x}) = \ dfrac {t} {x} [/ math]… ..using [math] xyz = 1 [/ math]

Entonces el LHS del problema se convierte en:

[matemáticas] \ dfrac {1} {t} + \ dfrac {1} {yt} + \ dfrac {x} {t} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1 + y + xy} {yt} = \ dfrac {yt} {yt} = 1 [/ matemáticas]

Answer 8