Tenga en cuenta que [math] | z_1 – z_2 | [/ math] es la distancia entre [math] z_1 [/ math] y [math] z_2 [/ math].
Suponga que los valores absolutos de [matemática] z_1 [/ matemática] y [matemática] z_2 [/ matemática] son fijos, como por ejemplo, [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [/ matemática] (respectivamente). Entonces [matemáticas] z_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2 [/ matemáticas] se encuentran en los círculos [matemáticas] | z_1 | = r_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] | z_2 | = r_2 [/ matemáticas]. La distancia entre [matemática] z_1 [/ matemática] y [matemática] z_2 [/ matemática] es mínima si ambos puntos se encuentran en un vector de radio común. Y esta distancia mínima es entonces la diferencia entre los radios, [math] | r_1 – r_2 | [/ math].
Podemos escribir [matemáticas] | z + 1 / z | [/ matemáticas] como [matemáticas] | z – (-1 / z) | [/ matemáticas]. Deje [matemáticas] | z | = a \ ge 3 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] | -1 / z | = 1 / a \ le 1/3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] z [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 / z [/ matemáticas] se encuentran en los círculos [matemáticas] | z | = a [/ matemáticas] y [matemáticas] | -1 / z | = 1 / a [/ matemáticas].
¿Es posible encontrar una [matemática] z [/ matemática] tal que [matemática] -1 / z [/ matemática] también se encuentre en la misma línea que une [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] z [/ matemática ]? Suponga que [math] z [/ math] es puramente imaginario, digamos [math] z = iy [/ math], con [math] y> 0 [/ math]. Entonces [math] -1 / z = -1 / iy = i / y [/ math], que también es puramente imaginario, con [math] 1 / y> 0 [/ math]. Por lo tanto, la distancia entre [matemática] z [/ matemática] y [matemática] -1 / z [/ matemática] es mínima si [matemática] y – 1 / y [/ matemática] es mínima, con la condición de que [matemática] y \ ge 3 [/ math].
- ¿Cómo podemos demostrar que [matemáticas] \ sum \ limits ^ {n} _ {r = 1} {^ {2n}} C_ {n + r} = \ frac {1} {2} (2 ^ {2n} – {^ {2n} C_n}) [/ math]?
- Para determinar si un número es primo o compuesto, lo dividimos por todos los números entre 2 y la raíz cuadrada del número. ¿Por que es esto entonces? ¿Por qué no vamos más allá de la raíz cuadrada del número?
- ¿La siguiente suma converge o diverge? [matemáticas] \ sum_ {r = 0} ^ {r = n-1} \ frac {r (r + 1) (n-2)! } {(n-1) ^ {r} (nr-1)! }[/matemáticas]?
- Si xyz = 1, entonces ¿cómo puedo demostrar que [matemáticas] (1 + x + y ^ {- 1}) ^ {- 1} + (1 + y + z ^ {- 1}) ^ {- 1} + (1 + z + x ^ {- 1}) ^ {- 1} = 1 [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que la igualdad [matemáticas] (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} x ^ {nk} y ^ k [/ matemáticas] es válida para todo [matemáticas] x, y
La derivada de [matemática] y – 1 / y [/ matemática] es [matemática] 1 + 1 / y ^ 2 [/ matemática], que es positiva, lo que implica que [matemática] y – 1 / y [/ matemática] es una función creciente (ignorando discontinuidades). Por lo tanto, es mínimo si [math] y [/ math] es lo más pequeño posible, es decir, si [math] y = 3 [/ math] (dada la condición).
Por lo tanto, [math] | z + 1 / z | [/ math] tiene un valor mínimo [math] 8/3 [/ math], para [math] z = 3i [/ math].