¿Cuál es un argumento combinatorio de que la suma del primer cuadrado impar es [matemática] \ binom {2n + 1} 3 [/ matemática]?

Answer 1

Mi prueba no es combinatoria, pero la voy a compartir de todos modos, tal vez ayude.

Aquí está:

En primer lugar, sabemos que [matemáticas] nC3 = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) … (1 + 2 + 3 + 4 … n-2) [/ matemáticas] (La prueba será muy mucho tiempo si pruebo este resultado también)

Entonces, [matemáticas] 2n + 1C3 = 1 + (1 + 2) … (1 + 2 + 3 … 2n-1) [/ matemáticas]

Observe que los números formados son triangulares y, como sabemos, la suma de dos números triangulares consecutivos siempre es un cuadrado perfecto. ¿Por qué?

Bueno, piense en el enésimo número triangular como un triángulo con n filas, con la fila [math] kth [/ math] teniendo k puntos.

Ahora, toma el número triangular que lo precede. Tiene solo n-1 filas, nuevamente con k puntos en la fila [math] kth [/ math]. Ahora, toma la primera fila, da su punto 1 a la segunda fila del número triangular n. Ahora la segunda última fila tendrá n puntos, continúe este proceso tomando la segunda fila del número triangular n-1, dando sus dos puntos a la fila n-2 de la enésima y así sucesivamente. La forma resultante será un cuadrado de dimensiones n * n. Por lo tanto, la suma de dos números triangulares consecutivos son un cuadrado perfecto.

Ahora, volviendo a la pregunta, sabiendo que la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto, emparejamos el segundo y el tercer número, el cuarto y el quinto y así sucesivamente en la secuencia [matemáticas] 1+ (1+ 2) … (1 + 2 + 3 … 2n-1) [/ matemáticas]

Ahora, en cada par, un término será par y uno será impar, por lo que la suma de cada par será un cuadrado perfecto impar.

Entonces, la secuencia se convertirá en:

[matemáticas] 1 + 9 + 25 … [/ matemáticas]

Como la secuencia tiene n términos, es la suma de los primeros n cuadrados perfectos impares.

QED

Answer 2

Mira el triángulo de Pascal. La diagonal más a la izquierda consta completamente de 1s. La siguiente diagonal contiene todos los números contables. La siguiente diagonal contiene todos los números de “elegir 2”, es decir, el número de la forma “n elegir 2”, la cantidad de formas de elegir 2 de n objetos. Estos números son 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … Por esta razón, esta diagonal se llama la 2da diagonal del Triángulo de Pascal, la diagonal anterior se llama la 1ra diagonal, y la diagonal de 1s a la izquierda se llama diagonal 0 del triángulo de Pascal. La siguiente diagonal, la tercera diagonal, contiene los números “elegir 3”, y así sucesivamente.

Si agrega los números de elegir 2, 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45, de “2 elija 2” a “10 elija 2”, obtendrá 165, que resulta ser 11, elija 3 , 11x10x9 / 3x2x1. En general, si agrega los números de “elija m” de “m elija m” a “n elija m”, obtendrá “n + 1 elija m + 1”. Esta es una de las características sorprendentes del Triángulo de Pascal.

¿Qué tiene que ver todo esto con la cuestión de encontrar la suma de los primeros n números cuadrados impares?

Veamos. Notarás que la suma de dos números consecutivos de “elegir 2” es un número cuadrado, y que si comienzas con 1, obtienes 1, 4, 9, 16, 25, 3, 49, 64, 81, … Pero si agrupa los “elija 2 números” como {1}, {3,6}, {10,15}, {21, 28}. {36,45}, … ves que la suma de los números “elegir 2” 1+ (3 + 6) + (10 + 15) + (21 + 28) + (36 + 45) es la misma que la suma de los primeros 5 cuadrados impares. Esto también es, como hemos visto anteriormente, “11 elegir 3”. Por lo tanto, la suma de los primeros 5 cuadrados impares es “11 elegir 3”.

El mismo razonamiento funciona en general, y arroja la conclusión indicada: la suma de los primeros n cuadrados impares es “2n + 1 elegir 3”.