Suponga que [math] A [/ math] es una matriz [math] n \ times n [/ math] y [math] A ^ 2 \ ne 0 [/ math] y [math] A ^ 3 = 0 [/ math] . Entonces, existe [math] v \ in \ mathbb R ^ n [/ math] tal que [math] (A ^ 2) v \ ne 0 [/ math] mientras [math] (A ^ 3) v = 0 [/ matemáticas]. ¿Cómo puedo mostrar que [matemáticas] v [/ matemáticas], [matemáticas] Av [/ matemáticas], [matemáticas] (A ^ 2) v [/ matemáticas] son ​​linealmente independientes?

Suponer

[matemática] c_1 v + c_2 (Av) + c_3 (A ^ 2 v) = 0 [/ matemática].

Luego (usando repetidamente [matemáticas] A ^ 3 v = 0 [/ matemáticas]):

[matemática] c_1 (Av) + c_2 (A ^ 2 v) + c_3 (A ^ 3 v) = 0 \ Estrella derecha [/ matemática]

[matemáticas] c_1 (Av) + c_2 (A ^ 2 v) = 0 \ Flecha derecha [/ matemáticas]

[matemáticas] c_1 (A ^ 2v) + c_2 (A ^ 3 v) = 0 \ Flecha derecha [/ matemáticas]

[matemáticas] c_1 (A ^ 2v) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, como [matemáticas] A ^ 2 v \ ne 0 [/ matemáticas], tenemos lo siguiente:

[matemáticas] c_1 = 0 \ Flecha derecha [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 + c_2 (A ^ 2 v) = 0 \ Flecha derecha c_2 = 0 \ Flecha derecha [/ matemáticas]

[matemática] 0 + 0 + c_3 (A ^ 2 v) = 0 \ Rightarrow c_3 = 0 [/ matemática].

Así,

[matemáticas] c_1 v + c_2 (Av) + c_3 (A ^ 2 v) = 0 \ Rightarrow c_1 = c_2 = c_3 = 0 [/ matemáticas],

entonces los tres vectores son linealmente independientes.

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Vinay Madhusudanan

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