En la siguiente definición del límite de una función, ¿por qué consideramos que f (x) se define en un intervalo abierto sobre x0 en lugar de un intervalo cerrado? ¿Es porque el intervalo abierto sobre x0 es suficiente para demostrar que el límite de f (x) es L o hay alguna otra razón?

Answer 1

No hace ninguna diferencia, siempre y cuando el intervalo no “pare” en [math] x_0 [/ math]. Cualquier intervalo cerrado con [math] x_0 [/ math] que no sea uno de sus puntos finales contendrá un intervalo abierto que contiene [math] x_0 [/ math]; de manera similar, cualquier intervalo abierto que contenga [matemática] x_0 [/ matemática] contiene un intervalo cerrado que contiene [matemática] x_0 [/ matemática] donde [matemática] x_0 [/ matemática] no es un punto final.

Si reduce el intervalo de definición de la función, el límite de la función todavía existe y no cambia; para una [matemática] \ epsilon [/ matemática] dada, es posible que deba hacer que [matemática] \ delta [/ matemática] sea más pequeña para forzar

[matemáticas] \ {x: | x-x_0 | <\ delta \} [/ matemáticas]

estar contenido en el intervalo más pequeño, pero una vez que lo haya hecho, todavía es el caso que [matemáticas] | f (x) – L | <\ epsilon [/ math].

Answer 2

La idea detrás del uso de límites es encontrar el comportamiento de la función f (x) cerca de una entrada, porque en la entrada (x = x0) el resultado podría ser ambiguo / indefinido (o la gráfica de f (x) es discontinua).

Por ej.
f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) ,
considerar un punto de datos x = 1,
si lo resolvemos, resulta ser 0/0 (indefinido).

vamos a comprobar con entradas de 0-> 1
f (0) = -1 / -1 = 1
f (0.5) = (0.25-1) / (0.5-1) = 1.5
f (0.9) = (0.81-1) / (0.9-1) = 1.9
f (0.99) = (0.9801 -1) / (0.99-1) = 1.99
.
.
f (1) -> 2

podríamos ver que a medida que x se acerca a 1, f (x) se acerca a 2, que es lo que nos interesa.
Evaluar f (x) para x = 1 no nos daría el resultado, por lo tanto, usamos límites.

como lo hacemos
una forma es reorganizar f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1)
= (x + 1) (x-1) / (x-1) = x + 1
entonces, f (1) = 1 + 1 = 2. (La reorganización no será posible para todas las funciones).