Deje que [math] R = (x, y) [/ math] se distribuya uniformemente en una unidad cuadrada ([math] 0 \ lt x, y \ lt 1 [/ math]) para que la densidad de probabilidad [math] p ( x, y) [/ math] para [math] R [/ math] es igual a la unidad dentro del cuadrado de la unidad, y es cero en otra parte. ¿Cómo calculo la densidad de probabilidad [matemática] p (r, \ theta) [/ matemática] en coordenadas polares, tomando el centro del cuadrado de la unidad como origen?

Answer 1

Esto no es dificil. Dibujaré una solución.

1) Traducir coordenadas por [matemáticas] x, y [/ matemáticas] por [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].
Luego verá que [math] (x – \ frac {1} {2}, y – \ frac {1} {2}) [/ math] se distribuye uniformemente en el cuadrado
[matemáticas] | s | \ leq \ frac {1} {2} [/ matemáticas], [matemáticas] | t | \ leq \ frac {1} {2}. [/ math]

En particular ves:
[matemáticas] \ displaystyle \ iint_ {| s | \ leq \ frac {1} {2},] | t | \ leq \ frac {1} {2}} ds dt = 1. [/ math]

2) Sustituya [math] s = r \ cos \ theta [/ math], [math] t = r \ sin \ theta [/ math] en la integral.

Dibuja una imagen.

Básicamente hay dos casos:

a) [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 \ leq \ frac {1} {4} [/ matemáticas]. En este caso obtienes todo lo posible
[matemáticas] 0 \ leq r \ leq \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi [/ matemáticas] en el rectángulo.

b) [matemáticas] \ frac {1} {4} \ lt x ^ 2 + y ^ 2 \ leq \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

En este caso, por cada [matemática] \ frac {1} {2} \ lt r \ leq \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemática] obtienes [matemática] \ theta [/ matemática] en 4 segmentos de círculo diferentes (ves uno de ellos en la imagen). Están dados por [matemáticas] 2 \ sqrt {r ^ 2 – \ frac {1} {4}} \ leq | \ tan \ theta | \ leq \ frac {1} {2 \ sqrt {r ^ 2 – \ frac {1} {4}}} [/ math] (¡marque esto!).

Deje que [matemáticas] A = \ bigg \ {(r, \ theta): \ frac {1} {2} <r \ leq \ frac {1} {\ sqrt {2}}, 0 \ leq \ theta <2 \ pi, [/ math] [math] \ sqrt {4r ^ 2 – 1} \ leq | \ tan \ theta | \ leq \ frac {1} {\ sqrt {4r ^ 2 -1}} \ bigg \} [/ math] [math] \ bigcup \ bigg (0, \ frac {1} {2} \ bigg] \ times \ bigg [0, 2 \ pi \ bigg). [/ math]

3) Después de la sustitución, obtienes la integral
[matemáticas] \ displaystyle \ iint _ {(r, \ theta) \ en A} r \; \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta = 1 [/ math] y las integrales correspondientes para todos los subconjuntos medibles de [math] \ Omega \ subset A [/ math], es decir, [math] \ displaystyle \ iint_ { (r, \ theta) \ in \ Omega} r \; \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta = P ((r, \ theta) \ in \ Omega) [/ math].

Implica que la densidad de probabilidad viene dada por

[matemáticas] \ displaystyle p (r, \ theta) = \ begin {cases}
r, \ text {if} (r, \ theta) \ en A \\
0, \ text {de lo contrario}
\ end {cases}. [/ math]

Answer 2

El jacobiano para la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares es [math] r. [/ Math] En otras palabras [math] dx \, dy = r \, dr \, d \ theta. [/ Math]

Si tiene una función de densidad conjunta [matemática] f (x, y), [/ matemática], entonces la función de densidad correspondiente en coordenadas polares debe multiplicarse por [matemática] r. [/ Matemática] Su función de densidad es [matemática] 1 [/ math] en el cuadrado de la unidad en coordenadas rectangulares, por lo que será [math] r [/ math] en coordenadas polares sobre la región correspondiente descrita en coordenadas polares. Esa es la región donde [matemáticas] \ theta \ en [0, \ pi / 2], [/ matemáticas] y para [matemáticas] \ theta \ en [0, \ pi / 4], [/ matemáticas] [matemáticas] r \ in [0, \ sec \ theta] [/ math] pero para [math] \ theta \ in [\ pi / 4, \ pi / 2], [/ math] [math] r \ in [0, \ csc \ theta]. [/ math]