La respuesta es [matemáticas] \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas].
Se da que la probabilidad de caras en la moneda [matemática] n [/ matemática] es [matemática] p_n = 0.1n [/ matemática], para [matemática] n = 1, \ ldots, 7 [/ matemática] .
Sea [math] f_n [/ math] la probabilidad de obtener un número par de caras cuando las primeras monedas [math] n [/ math] se lanzan juntas. Entonces la probabilidad que queremos calcular es [math] f_7 [/ math].
Podemos escribir una relación de recurrencia para [math] f_n [/ math]. Obtenemos un número par de caras al lanzar las primeras monedas [math] n [/ math] de una de las siguientes dos maneras:
- ¿Por qué el método derivar y dividir (adjunto) funciona para factorizar polinomios difíciles de factorizar?
- ¿Hay alguna intuición útil para pensar por qué y / x = 1 / (x / y)?
- Cómo integrar [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 5 \, dx} {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + 1) (x ^ 4-x ^ 3 + x-1) }[/matemáticas]
- En la siguiente definición del límite de una función, ¿por qué consideramos que f (x) se define en un intervalo abierto sobre x0 en lugar de un intervalo cerrado? ¿Es porque el intervalo abierto sobre x0 es suficiente para demostrar que el límite de f (x) es L o hay alguna otra razón?
- Deje que [math] R = (x, y) [/ math] se distribuya uniformemente en una unidad cuadrada ([math] 0 \ lt x, y \ lt 1 [/ math]) para que la densidad de probabilidad [math] p ( x, y) [/ math] para [math] R [/ math] es igual a la unidad dentro del cuadrado de la unidad, y es cero en otra parte. ¿Cómo calculo la densidad de probabilidad [matemática] p (r, \ theta) [/ matemática] en coordenadas polares, tomando el centro del cuadrado de la unidad como origen?
- Obtenemos un número par de caras en las primeras monedas [matemáticas] n-1 [/ matemáticas], y una cola en la moneda [matemáticas] n [/ matemáticas] – la probabilidad de esto es [matemáticas] f_ {n -1} (1 – p_n) = (1 – 0.1n) f_ {n-1}; [/ math] o
- Obtenemos un número impar de caras en las primeras monedas [matemáticas] n-1 [/ matemáticas], y una cara en la moneda [matemáticas] n [/ matemáticas] – la probabilidad de esto es [matemáticas] (1 – f_ {n-1}) p_n = 0.1n (1 – f_ {n-1}) [/ math].
Podemos considerar el caso de las monedas [math] 0 [/ math] como base para la relación de recurrencia, y dado que el número de caras en este caso es [math] 0 [/ math], que es par, [math] f_0 = 1 [/ matemáticas].
Así,
[matemáticas] \ begin {align}
& f_n = (1 – 0.1n) f_ {n-1} + 0.1n (1 – f_ {n-1}) \\
& f_0 = 1
\ end {align} [/ math]
Ahora, observe que para [matemáticas] n = 5 [/ matemáticas], lo anterior da:
[matemáticas] \ begin {align}
f_5 & = (1 – 0.1 \ por 5) f_4 + 0.1 \ por 5 (1 – f_4) \\
& = 0.5 f_4 + 0.5 (1 – f_4) \\
& = 0.5
\ end {align} [/ math]
Nuevamente, observe que si, para algunos [matemática] n [/ matemática], [matemática] f_ {n-1} = 0.5 [/ matemática], entonces
[matemáticas] \ begin {align}
f_n & = (1 – 0.1n) 0.5+ 0.1n \ veces 0.5 \\
& = 0.5
\ end {align} [/ math]
Esto aplica para [matemática] n = 6 [/ matemática], como [matemática] f_5 = 0.5 [/ matemática], y luego para [matemática] n = 7 [/ matemática], como [matemática] f_6 = 0.5 [/ matemática ] Por lo tanto, la respuesta es [matemáticas] f_7 = 0.5 [/ matemáticas].