¿Explica la revelación de que cualquier número cuadrado es la suma de dos números triangulares? (Vea abajo)

Answer 1

¿Qué tiene que ver [matemáticas] 4 \ veces 5 = 20 [/ matemáticas] con [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]? ¡Buena pregunta!

El número del triángulo [matemáticas] 10 [/ matemáticas] es la mitad de [matemáticas] 4 \ veces 5 [/ matemáticas], como usted dijo. El siguiente número de triángulo es [matemática] 15 [/ matemática], que, nuevamente, es la mitad de [matemática] 5 \ veces 6 = 30 [/ matemática].

Pero tenga en cuenta que [matemáticas] 10 + 15 = 25 [/ matemáticas], que es igual a [matemáticas] 5 ^ 2 [/ matemáticas]. Eso es lo que [matemática] 4 \ veces 5 [/ matemática] tiene que ver con [matemática] x ^ 2 [/ matemática].

Parece que la suma de dos números de triángulo consecutivos es un número cuadrado. Se puede demostrar que este siempre es el caso.

[matemática] 10 [/ matemática] es la mitad de [matemática] 4 \ veces 5 [/ matemática], o [matemática] \ frac {4 \ veces (4 + 1)} {2} [/ matemática]. [math] 15 [/ math] es la mitad de [math] 5 \ times 6 [/ math], o [math] \ frac {5 \ times 6} {2} [/ math]. Entonces, un número de triángulo tiene la forma [math] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ math]. ¿Qué pasa con el número de triángulo anterior? Sería [matemáticas] \ frac {(n-1) ((n-1) +1)} {2} [/ matemáticas], o [matemáticas] \ frac {n (n-1)} {2} [ /matemáticas].

Entonces, dos números de triángulo consecutivos tienen la forma [matemática] \ frac {n (n-1)} {2} [/ matemática] y [matemática] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática] .

Anteriormente, descubrimos que la suma de los dos números de triángulo consecutivos [matemática] 10 [/ matemática] y [matemática] 15 [/ matemática] era [matemática] 25 [/ matemática], un número cuadrado. ¿Esto siempre sucede? ¡Vamos a averiguar!

[matemáticas] \ frac {n (n-1)} {2} + \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {n (n-1) + n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {n ((n-1) + (n-1))} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {n (2n)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, sí, ¡la suma de dos números de triángulo consecutivos es siempre un número cuadrado!

Answer 2

En su ejemplo, necesita un triángulo 4 × 5 y un triángulo 3 × 4 para completar un cuadrado 4 × 4.

Puedes probar algebraicamente que dos de estos triángulos de tamaños adyacentes siempre producirán un cuadrado. Pero también puede probar este hecho pictoralmente, cortando un cuadrado por la mitad a lo largo de una diagonal, produciendo dos triángulos.

Answer 3

un número triangular tiene la forma (n) (n + 1) / 2
y el número triangular adyacente es (n) (n-1) / 2
suma los dos para obtener (n) (n + 1 + n-1) / 2 = n ^ 2
si imagina o dibuja un tablero de ajedrez con n = 8, córtelo en dos a lo largo de una diagonal pero corte alrededor de todos los cuadrados diagonales y manténgalo luego con el (digamos) triángulo inferior.
ahora tienes dos triángulos con borde diagonal en zigzag.
el inferior tiene el octavo número triangular de cuadrados 8.9 / 2 = 36 cuadrados
la parte superior tiene séptima diagonal número cuadrados 8.7 / 2 = 28 cuadrados
el número total de “cuadrados pequeños” 36 + 28 = 64 como se esperaba. y, por supuesto, este método funciona para cualquier “tablero de ajedrez” de cualquier tamaño

Answer 4

Cualquier “número de triángulo” es básicamente una suma de números naturales. Por ejemplo, 10 (= 1 + 2 ++ 3 + 4) y 21 (= 1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6).

Ahora, tome n * (n-1) * 0.5 por ejemplo. Es solo la suma de números naturales hasta n-1.
Del mismo modo, n * (n + 1) * 0.5 es la suma de números naturales hasta n.
Entonces, tanto n * (n-1) * 0.5 como n * (n + 1) * 0.5 son números triangulares y sumarlos da n ^ 2.

La única excepción a esta regla es 1, que es un ^ 2 pero no se puede dividir en dos números triangulares.

No estoy seguro de si este es el único factorizar un cuadrado en 2 números triangulares. Para cuadrados más grandes, creo que puedes encontrar múltiples formas de dividirlo en dos números triangulares. Espero que esto responda a su pregunta.

Answer 5

A la mitad de la primera página de lo que está citando es su imagen donde toma un cuadrado de lado [matemática] n [/ matemática] y la corta en dos triángulos, uno del lado [matemático] n [/ matemático] y uno de lado [matemática] n-1 [/ matemática].

El lado [matemáticas] n [/ matemáticas] se muestra como la mitad de un rectángulo de lados [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] y así es:
[matemáticas] \ frac {n (n + 1)} 2 [/ matemáticas].

El lado [matemático] n-1 [/ matemático] se muestra como la mitad de un rectángulo de lados [matemático] n-1 [/ matemático] y [matemático] (n-1) +1 [/ matemático] y Asi es:
[matemáticas] \ frac {(n-1) n} 2 [/ matemáticas].

Entonces, el cuadrado desde el que comenzó es de tamaño:
[matemáticas] \ frac {n (n-1)} 2 + \ frac {n (n + 1)} 2 [/ matemáticas]

Ta-dah

(Lo confieso, odio libros como este: toman matemáticas perfectamente buenas y directas (en este caso, álgebra simple) y lo visten con todo tipo de jumbo metafísico (en este caso historias tontas sobre Fausto y el Diablo, un estúpido , pieza de propaganda teísta sin sentido y absolutamente inútil que pretende retratar la venenosa moral fascista “Ciencia baad. Dios bueno”.