¿Por qué usamos la raíz cuadrada de -1 como i? ¿Por qué no el otro valor como -2, -3, etc. con otros alfabetos?

Answer 1

¿Por qué usamos la raíz cuadrada de -1 como i? ¿Por qué no el otro valor como -2, -3, etc. con otros alfabetos?

Formal y pedantemente, la raíz cuadrada de [math] -1 \ in \ mathbb R [/ math] no existe, así como la mitad de [math] 1 \ in \ mathbb N [/ math] no existe.

Lo que sí existen son números cardanos [1], [matemática] \ mathbb C [/ matemática], definidos como pares ordenados, [matemática] (x, y) \ dos puntos, y \ in \ mathbb R [/ matemática] ese:

• [matemáticas] (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) [/ matemáticas]
• [matemática] (a, b) \ veces (c, d) = (ac-bd, ad + bc) [/ matemática]

Con esta definición, notará que:

[matemáticas] \ quad (0,1) \ veces (0,1) = (0-1,0 + 0) = (- 1,0) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ sqrt {(- 1,0)} = (0,1) [/ math]

Y:

[matemáticas] \ quad (x, y) = (x, 0) + (0,1) \ veces (y, 0) [/ matemáticas]

Ahora utilizamos algunas piezas prácticas de taquigrafía:

• [matemáticas] (x, 0) \ equiv x [/ matemáticas]
• [matemáticas] (0,1) \ equiv i [/ matemáticas]

Con estos en su lugar, notará que podemos escribir:

• [matemáticas] (x, y) \ equiv x + i \ veces y [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ sqrt {-1} \ equiv \ sqrt {(- 1,0)} = (0,1) \ equiv i [/ matemáticas]

¡Solo taquigrafía! [matemáticas] i [/ matemáticas] no es un número nuevo especial. Es solo una abreviatura para un par ordenado en particular. Al igual que [math] \ pi [/ math] no es un número nuevo especial. Es solo una abreviatura de un número particular de Arquímedes.

Podría , supongo, definir una taquigrafía diferente, digamos [math] j \ equiv (0,2) [/ math], entonces [math] j ^ 2 = (- 4,0) \ equiv-4 [/ math] y [math] j = \ sqrt {-4} [/ math], pero no sería tan útil, entonces, ¿cuál sería el punto?

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[math] \ mathbb C [/ math] se puede definir de otras maneras, incluida la definición de una nueva entidad fundamental [math] i \ equiv \ sqrt {-1} [/ math], pero creo que es mejor considerar todo concepto como nuevo en lugar de [matemáticas] i [/ matemáticas] como una entidad específica.

Notas al pie

[1] La respuesta de Alan Bustany a ¿Qué propones como mejores nombres para los números “reales” y “complejos”? ¿Con qué nombres podríamos reemplazarlos en los próximos siglos?

Answer 2

Porque [matemáticas] (- 2) ^ 2 \ neq -1 [/ matemáticas]. Necesitábamos un nuevo número para esto, nuestro sistema de números reales no responde a esto. Así que pudimos elegir entre los alfabetos en inglés y griego (eso es lo que usamos principalmente, sí, también podríamos haber usado chino, pero ya sabes …)

Y nos conformamos con [matemáticas] \ iota [/ matemáticas]

Answer 3

Tenga en cuenta que [math] \ sqrt {-2} = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ sqrt {-3} = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {3} [/ matemáticas].

Entonces, realmente, solo tenemos que definir [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas] y podemos escribir los otros valores imaginarios como [matemáticas] \ sqrt {-a} = i \ sqrt {a} [/ matemáticas]

Answer 4

Porque sería redundante si lo hiciéramos.
Necesitamos usar i = sqrt (-1) porque no podemos expresar sqrt (-1) en ningún otro término que ya tengamos. Pero una vez que hemos definido i = sqrt (-1), podemos expresar sqrt (-x) como solo i * sqrt (x). Además, al definir i = sqrt (-1) y no i = sqrt (-2) (o -3, 4, 5, etc.), cuando escribimos números complejos como a + bi, podemos expresar su magnitud como sqrt (a ^ 2 + b ^ 2). Además, cuando multiplicamos dos números complejos (a + bi) * (c + di), la respuesta es solo (a * cb * d) + (a * d + b * c) i, porque i ^ 2 = -1. El propósito de i es ser el número imaginario de la unidad, por lo que su magnitud debe ser 1, para que sea más fácil hacer cosas con números complejos.

Answer 5

Cada número se puede representar en forma de 1 y -1. Por lo tanto, tenemos un número como -2, entonces se puede escribir como 2 * -1, por lo tanto, la raíz cuadrada de es en términos de i.

Answer 6

No es necesario.

Los electricistas pueden escribir 32 j amps para 32 * sqrt (-1). (Los electricistas ya usan i para corriente, entonces usan j para números imaginarios).

No necesitas ninguna otra letra. Puedes escribir 12.7856 i donde la multiplicación es implícita.

Answer 7

Simplemente haciendo que el simulador sea -2, puedes escribir 2i. Y 3i, 4i, … respectivamente. ¿Por qué traer más variables cuando puedes simplificar con solo una i?