Cómo integrar [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 5 \, dx} {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + 1) (x ^ 4-x ^ 3 + x-1) }[/matemáticas]

Answer 1

El denominador NO es [matemáticas] (x ^ 3-1) ^ 2 (x ^ 6 + 1) [/ matemáticas] como Aadi Jain ha declarado. En realidad, es [matemática] x ^ {12} -1 [/ matemática] a la que llega de la siguiente manera:

Primero factoriza [matemáticas] x ^ 4-x ^ 3 + x-1 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] (x ^ 3 + 1) (x-1) [/ matemáticas]
Luego, multiplique [math] x-1 [/ math] con el factor [math] x ^ 2 + x + 1 [/ math] existente para obtener [math] x ^ 3-1 [/ math]
Observe [matemáticas] (x ^ 3-1) (x ^ 3 + 1) = x ^ 6-1 [/ matemáticas] y finalmente,
[matemáticas] (x ^ 6 + 1) (x ^ 6-1) = (x ^ {12} -1) [/ matemáticas]

La integral se reduce a:
[matemáticas] \ int \ frac {x ^ 5} {x ^ {12} -1} dx [/ matemáticas]

Deje [math] x ^ 6 = t [/ math], luego [math] x ^ 5 dx = \ frac {1} {6} dt [/ math]

Ahora tiene [matemáticas] \ frac {1} {6} \ int \ frac {1} {t ^ 2-1} dt = \ frac {1} {12} \ log | \ frac {t-1} {t +1} | + C [/ matemáticas]

Volver a poner [matemáticas] t = x ^ 6 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ frac {1} {12} \ log | \ frac {x ^ 6-1} {x ^ 6 + 1} | + C [/ matemáticas]

Esta es la respuesta a tu pregunta.

Nota : en caso de que no pueda evaluar la integral final,

Deje [math] t = \ sec \ theta [/ math], luego [math] dt = \ sec \ theta tan \ theta d \ theta [/ math]
Tu también tienes :
[matemáticas] \ cos \ theta = 1 / t [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin \ theta = \ sqrt {1-1 / t ^ 2} [/ matemáticas]

Resulta que

[matemáticas] \ frac {1} {6} \ int \ frac {1} {t ^ 2-1} dt = \ frac {1} {6} \ int \ frac {1} {(\ sec \ theta) ^ 2-1} \ cdot \ sec \ theta \ tan \ theta d \ theta = \ frac {1} {6} \ int \ csc \ theta d \ theta = – \ frac {1} {6} \ log | \ csc \ theta + \ cot \ theta | + C = \ frac {1} {6} \ log | \ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta} | + C = \ frac {1} {6} \ log | \ frac {\ sqrt {t ^ 2-1}} {t + 1} | + C = \ frac {1} {12} \ log | \ frac {t-1} {t + 1} | + C [/ matemáticas]

Espero que eso aclare las cosas.

Answer 2

Este problema parece difícil pero en realidad es factible. Sin embargo, realmente toma muchos pasos, ya que implica la integración por sustitución , así como la simplicidad de las integrales al descomponerlas en fracciones parciales. Para alcanzar estos dos puntos de control, primero debemos simplificar ese denominador bastante largo mediante la factorización para hacer la vida mucho más fácil. En consecuencia, los resultados finales serán los adjuntos.

Espero que te ayude a resolver este problema y que tengas un gran día por delante.

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + 1) (x ^ 4-x ^ 3 + x-1)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + 1) (x ^ 3 (x-1) + (x-1))} \ , dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {\ color {blue} {(x ^ 2 + x + 1)} (x ^ 6 + 1) \ color {blue} {(x-1) } (x ^ 3 + 1)} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {\ color {blue} {(x ^ 3 + 1) (x ^ 3–1)} (x ^ 6 + 1)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {(x ^ 6 + 1) (x ^ 6–1)} \, dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {x ^ {12} -1} \, dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 5} {(x ^ 6) ^ 2–1} \, dx [/ math]

Sea [math] u = x ^ 6 \ implica du = 6x ^ 5 \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {du} {6 (u ^ 2–1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {1} {12} \ int \ dfrac {1} {u-1} – \ dfrac {1} {u + 1} \, du [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {1} {12} \ ln \ left | \ dfrac {u-1} {u + 1} \ right | + C [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {1} {12} \ ln \ left | \ dfrac {x ^ 6–1} {x ^ 6 + 1} \ right | + C [/ math]

Answer 4

① ± 1 son ceros de x ^ 4-x³ + x-1 = (x²-1) (x²-x + 1)

② {(x² + 1) + x} {(x² + 1-x)

= (x² + 1) ²-x² = x ^ 4 + x² + 1

③ {x ^ 4 + (x² + 1)} (x²-1) = (x ^ 6-x ^ 4) + {(x²) ²-1²} = x ^ 6–1

④ Integrado dado:

x ^ 5 / (x ^ 6–1) (x ^ 6 + 1)

= ½x ^ 5 (1 / (x ^ 6–1) -1 / (x ^ 6 + 1)

= ½ {x ^ 5 / ((x ^ 6–1)) – x ^ 5 / (x ^ 6 + 1)

INTEGRAL = ½ (1/6) {㏑ | (x ^ 6) –1 | -㏑ (x ^ 6) +1} + C

= (1/12) ㏑ | (x ^ 6–1) / (x ^ 6 + 1) | + C

Answer 5

Oh chico, solo de ver eso (actualmente a 8 horas de mi final de calc 2), mi instinto es decir que es un molesto problema de fracciones parciales jaja. Si ese denominador pudiera simplificarse de alguna manera, eso sería bueno y haría que las cosas no fueran tan malas. Pero, para responder a su pregunta, diría que necesita usar fracciones parciales.

Answer 6

¿Por qué no lo conectas a la Calculadora Integral?
Lo he usado ampliamente en el pasado y, en mi opinión, el botón “Mostrar pasos” puede revelar vastos océanos de conocimiento integral de cálculo en solo segundos 🙂
Salud