Cómo encontrar la función de densidad de probabilidad de una combinación lineal de tres variables aleatorias independientes con funciones generadoras de momentos dados

Si [math] Z = a_1 X_1 + a_2 X_2 + \ cdots + a_n X_n [/ math], donde todos los [math] X_i [/ ​​math] son ​​independientes, entonces la función generadora de momento de [math] Z [/ matemáticas] es

[math] M_Z (t) = \ mathbb E \ left [e ^ {tZ} \ right] [/ math]

[math] \ quad = \ mathbb E \ left [e ^ {t (a_1 X_1 + a_2 X_2 + \ cdots + a_n X_n)} \ right] [/ math]

[math] \ quad = \ mathbb E \ left [e ^ {a_1tX_1}] \ cdots \ mathbb E [e ^ {a_ntX_n} \ right] [/ math]

[matemática] \ quad = M_ {X_1} (a_1t) \ cdots M_ {X_n} (a_nt) [/ math].

Aquí, por lo tanto,

[matemáticas] M_Z (t) = e ^ {8t (1 + 4t)} e ^ {3t (1 + t)} e ^ {8t (1 + 2t)} [/ matemáticas]

[matemáticas] M_Z (t) = e ^ {19t + 51t ^ 2} [/ matemáticas]

A partir de las funciones generadoras de momento, podemos ver que [matemáticas] X_1 \ sim N (2,4) [/ matemáticas], [matemáticas] X_2 \ sim N (3,6) [/ matemáticas], [matemáticas] X_3 \ sim N (4, 8) [/ matemática] y [matemática] Z \ sim N (19, 102) [/ matemática].

Para encontrar el pdf de [math] Z [/ math], solo necesitamos saber la última parte, que [math] Z \ sim N (19, 102) [/ math]. Por lo tanto, su pdf es

[matemáticas] f (z) = \ dfrac {1} {\ sqrt {204 \ pi}} \ exp \ left [- \ dfrac {(z – 19) ^ 2} {204} \ right] [/ matemáticas].

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