Cómo encontrar la raíz real de y = x ^ 3 + x + 1

Vamos a utilizar el método de Newton (también llamado Newton-Raphson). Primero, debemos elegir un lugar para comenzar a calcular, pero será mejor que seamos inteligentes al respecto; de lo contrario, podría llevar mucho tiempo.

Manipular [matemáticas] x ^ 3 + x + 1 = 0 [/ matemáticas] conduce a [matemáticas] x ^ 2 + 1 = – \ frac {1} {x} [/ matemáticas] y sabemos cómo son estos tipos. Normalmente no los graficaría, pero aquí están de todos modos:

Pensándolo bien, los gráficos podrían ser útiles si no tienes una buena idea de cómo son las funciones y también te dan una idea de cómo se escalan en relación entre sí. Ahora sabemos que la solución está en [matemática] \ izquierda [-1, -0.5 \ derecha] [/ matemática], así que [matemática] x_0 = -1 [/ matemática] es una buena suposición inicial.

Algoritmo de Newton-Raphson: [matemática] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemática]

Función original: [matemáticas] y = x ^ 3 + x + 1 [/ matemáticas]

Derivada: [matemáticas] y ‘= 3x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Utilicé Excel para ahorrar tiempo y después de cuatro términos, tenemos una respuesta con precisión 1/1000:

Algunos llamarán a este método sin refinar, contundente o incluso brutal, pero usted y yo solo queremos hacer el trabajo, ¿verdad?

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Cómo integrar [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 5 \, dx} {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + 1) (x ^ 4-x ^ 3 + x-1) }[/matemáticas]

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[matemática] x ^ 3 + x + 1 [/ matemática] es un cúbico deprimido, por lo que puede usar la subposición de Vieta’a:
[matemáticas] x = t- \ frac {1} {3t} [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow (t ^ 3-t + \ frac {1} {3t} – \ frac {1} {27t ^ 3}) + t- \ frac {1} {3t} + 1 = 0 [/ math]
[matemática] \ Rightarrow t ^ 3 + 1- \ frac {1} {27t ^ 3} = 0 [/ matemática]
[matemática] \ Rightarrow t ^ 6 + t ^ 3- \ frac {1} {27} = 0 [/ math]
Entonces podemos usar nuestra práctica ecuación cuadrática para resolver [math] t ^ 3 [/ math]:
[matemáticas] t ^ 3 = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {\ frac {31} {27}}} {2} [/ matemáticas]
Si uno sigue este camino, él o ella llega a la respuesta
[matemáticas] x = \ sqrt [3] {\ frac {-1 \ pm \ sqrt {\ frac {31} {27}}} {2}} + \ sqrt [3] {\ frac {-1 \ mp \ sqrt {\ frac {31} {27}}} {2}} [/ math]

Matthew Cramerus

Puede usar la fórmula general para encontrar raíces cúbicas: http://en.wikipedia.org/wiki/Cub …

También podría usar diferentes aproximaciones numéricas, como el método de Newton.

O simplemente puede escribir la función en Wolfram | Alpha para obtener el resultado.

Matthew Cramerus

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