¿Cuál es el mayor número de cuadrados de 1 por 1 que puede colocar dentro de un círculo de 1996 unidades de diámetro si los cuadrados deben tener una separación de 1 unidad entre sí en todos los bordes o esquinas, es decir, cada segunda fila o columna está vacía?

Aclaró que la utilización del espacio es 1/4, ya que cualquier otra fila y columna está en blanco (es decir, cada cuadrado ocupado corresponde a un vecino vacío en el este, norte y noreste). Ignoremos la utilización de 1/4 y tratemos con ella más tarde, ya que podemos ajustar las soluciones ignorando los mosaicos vacíos en la periferia y moviendo un centro descentrado ligeramente óptimo.

Primero, vamos a sobrestimar la cantidad de cuadrados interiores, usando el área total dentro del círculo.
Si alineamos la cuadrícula en los puntos de la red , entonces considere que con un radio de r = 998, un cuadrado en (998,0) ya está fuera del círculo.
Entonces, una sobreestimación del número interior de cuadrados dentro del círculo es en realidad
π 997 ^ 2 = 3,122,771 (redondear hacia abajo)

O si centramos el cuadrado del medio en el origen , es decir, lo colocamos en [(-0.5, -0.5), (- 0.5, + 0.5)], entonces el cuadrado más externo es [(996.5, -0.5), (997.5, + 0.5 )].
Esto nos da 2 * 996 +1 cuadrados interiores que se ajustan al diámetro y un área de π (997.5 ^ 2 + 0.5 ^ 2) = 3,125,905 (redondear hacia abajo)

Círculo Puntos de celosía / círculo Steinhaus

Supongo que esto significa que los puntos no pueden superponerse.
Pi * r ^ 2 = 3.141593 * 998 * 998 = 3129038

Pero si no pueden bordearse entre sí, entonces el problema se vuelve un poco más complicado y depende de la forma de los puntos. ¿circular? ¿cuadrado?

Vayamos con cuadrados de 1 × 1 e ignoremos el no tocar.

Primero, diseñe una cuadrícula de 1996 x 1996 y agregue el círculo. Pregúntese cuántas líneas cruza el círculo. Comenzando en la parte superior y siguiendo un camino completo, ha cruzado dos veces las líneas verticales de 1995, por lo que ha tocado las columnas verticales de 1996, dos veces (una vez hacia abajo y luego una vez hacia arriba) (más o menos; lo dejaré para contar los casos límite). Lo mismo para las filas horizontales. Cada vez que cruzas una línea, tocas un nuevo cuadrado (y si hay repeticiones o casos de esquina, mueve el cuadrado un poco para que no pierdas un cuadrado). Voy a ir con 1996 * 4.

Tu dices
si los cuadrados deben tener una separación de 1 unidad entre sí en todos los bordes o esquinas,
es decir, cada segunda fila o columna está vacía
Pero, por supuesto, cada fila puede tener un punto de partida diferente, por lo que el primer bloque puede caber exactamente. En cada línea horizontal que define el ancho, debe redondear hacia abajo al 2n + 1 más cercano para que quepan n bloques. Por ejemplo, si la línea tiene 3 unidades de ancho, entonces encajarán dos bloques. Y eso tiene que hacerse por miles de filas.
Creo que el software es la única forma si se requiere una respuesta precisa

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