¿Cuál es el valor mínimo de a ^ 2 + b ^ 2?

Answer 1

Caso 1: Primero suponga que si las raíces son complejas, entonces
Como las raíces de x ^ 2-kx + k = 0 son complejas, debe tener raíces en forma de a + ib, para esto D = K ^ 2-4K <0.
=> 0 <k <4
a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab = k ^ 2-2k que es mínimo en k = 1
min (a ^ 2 + b ^ 2) = 1-2 = -1, para k = 1 si ayb son números complejos.

Caso 2: Ahora suponga que si las raíces son reales, entonces
D> = 0
=> k ^ 2-4k> = 0
=> k = 4
a ^ 2 + b ^ 2 = k ^ 2-2k, en la región k = 4 el valor mínimo estaría en k = 0, dibuje un gráfico en la región.
min (a ^ 2 + b ^ 2) = 0, para k = 0, donde a y b son reales.

Ahora, como dice la pregunta, las raíces pueden ser complejas o reales, pero a ^ 2 + b ^ 2 debería ser lo más pequeño posible para k.
Entonces tomaremos el caso 1 como la respuesta aquí en cuanto a este valor mínimo de caso = -1, que es menor que el caso 2.
es decir, k = 1

Answer 2

Supongamos que K = 0. Entonces x ^ 2 = 0 tiene una raíz doble en 0. 0 ^ 2 + 0 ^ 2 = 0, que es mediante inspección la magnitud mínima posible. 🙂

Sin embargo, las otras respuestas aquí señalan correctamente que las raíces mínimas son complejas, lo que lleva a a ^ 2 + b ^ 2 = -1, que es numéricamente más pequeño.

Answer 3

Usando la fórmula cuadrática, obtienes eso

[matemáticas] x = \ frac {k \ pm \ sqrt {k ^ 2-4k}} {4}. [/ matemáticas]

Con un poco de álgebra,

[matemáticas] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = k ^ 2-2k. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto es cuadrático en k , y por lo tanto tiene un mínimo en su vértice, [math] (1, -1) [/ math]. Así k = 1.

Answer 4

(a, b) ∈ No. natural entonces 2

(a, b) ∈ Número entero luego 0

(a, b) No. No. real entonces 0

(a, b) ∈ No. racional entonces 0

(a, b) ∈ No. imaginario entonces -∞