Deje [math] \ mathit {f} [/ math]: [math] \ mathbb {R ^ {+}} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math], donde [math] \ textit {f (x)} = \ int_ {1} ^ {x} \ frac {dt} {t} [/ math]. ¿Cómo mostrarías que [math] \ textit {f} [/ math] es una función uno a uno y sobre?

Robin Joshi tiene una buena pista. Esta es una de las funciones más fundamentales en matemáticas. Puede y debe entenderse en términos bastante primitivos. Si está satisfecho con el cálculo elemental, puede demostrar que su derivada es positiva (esta es la parte derivada del teorema fundamental del cálculo, que se deduce de las definiciones); de donde está aumentando estrictamente (esto implica el teorema del valor medio, que es más profundo); de donde es uno a uno. Para la parte sobre, establezca que la función aumenta en una cantidad positiva fija (logaritmo natural de 2) siempre que la entrada x se multiplique por 2; y que disminuye en esa cantidad cada vez que la entrada se divide por 2. (Esto surge de la invariancia de la curva xy = 1 bajo la transformación de preservación del área (x, y) -> (2x, (1/2) y). Esto es algo agradable pero no profundo). Esto es suficiente para mostrar que alcanza valores mayores que cualquier número real dado y valores menores que cualquier número real dado. Luego puede usar el teorema del valor intermedio (en el mismo reino que el teorema del valor medio) para mostrar que se alcanza cualquier valor real. No diría que este es el final de la historia en términos de intuición.

Definir
[matemáticas] \ displaystyle {f (x) = \ int_1 ^ x \ frac {d \, t} {t}} [/ matemáticas]

Según el teorema fundamental del cálculo, tenemos que [math] f [/ math] es diferenciable para cada [math] x> 0 [/ math] y

[matemáticas] \ displaystyle {f ‘(x) = \ frac {1} {x}> 0 \ quad \ forall x> 0} [/ matemáticas]

Con esto, demostremos que [math] f [/ math] es una función creciente. Deje [math] x_1> x_0> 0 [/ math], queremos mostrar que [math] f (x_1)> f (x_0) [/ math].
Por el teorema del valor medio tenemos que existe una [matemática] x_2 \ in (x_0, x_1) [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ displaystyle {f (x_1) – f (x_0) = (x_1-x_0) f ‘(x_2)} [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] f ‘(x_2)> 0 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ displaystyle {f (x_1) – f (x_0) = (x_1-x_0) f ‘(x_2)> 0 \ implica f (x_1)> f (x_0)} [/ matemáticas]

Entonces [math] f [/ math] está aumentando. Finalmente, veamos que [math] f [/ math] es uno a uno. Deje que [math] x_0 [/ math] y [math] x_1 [/ math] sean tales que [math] f (x_0) = f (x_1) [/ math], queremos ver que [math] x_1 = x_0 [ /matemáticas]. Suponga que no, que [matemáticas] x_1 \ neq x_0 [/ matemáticas], entonces podemos suponer (renombrar si es necesario) que [matemáticas] x_1> x_0 [/ matemáticas]. Pero dado que [matemáticas] f [/ matemáticas] está aumentando

[matemáticas] \ displaystyle {f (x_1)> f (x_0)} [/ matemáticas]

Lo que contradice el hecho de que [matemáticas] f (x_1) = f (x_0) [/ matemáticas]. Entonces concluimos que [matemáticas] x_1 = x_0 [/ matemáticas], y [matemáticas] f [/ matemáticas] es uno a uno.

Ahora queremos mostrar que es una función suryective. Primero demostremos [matemáticas] f [/ matemáticas] satisfacer

[matemáticas] \ displaystyle {f (xy) = f (x) + f (y) \ quad \ forall x, y> 0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {f (xy) = \ int_1 ^ {xy} \ frac {d \, t} {t} = \ int _ {\ frac {1} {x}} ^ y \ frac {d \, t } {t}} [/ matemáticas]

donde hemos hecho la sustitución [math] t = xt ‘[/ math]. Siguiendo el cálculo

[matemáticas] \ displaystyle {\ int _ {\ frac {1} {x}} ^ y \ frac {d \, t} {t} = \ int_ {1} ^ y \ frac {d \, t} {t} + \ int _ {\ frac {1} {x}} ^ 1 \ frac {d \, t} {t}} [/ math]

Resp. Si hacemos esta sustitución en la última integral ([math] tx = t ‘[/ math])

[matemáticas] \ displaystyle {f (xy) = \ int_ {1} ^ y \ frac {d \, t} {t} + \ int_ {1} ^ x \ frac {d \, t} {t} = f (x) + f (y)} [/ matemáticas]

Ahora deje que [math] C_0 [/ math] sea

[matemáticas] \ displaystyle {C_0 = f (2) = \ int_1 ^ 2 \ frac {d \, t} {t}> 0} [/ matemáticas]

Entonces por cada [matemática] x [/ matemática] tenemos

[matemáticas] \ displaystyle {f (2 ^ n \, x) = f (x) + nC_0 \ to \ infty \ quad \ text {ya que n tiende a} \ infty} [/ math]

Como [math] f [/ math] está aumentando, entonces tenemos
[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {x \ to \ infty} f (x) = \ infty} [/ math]

Del mismo modo

[matemáticas] \ displaystyle {f (2 ^ {- n} \, x) = f (x) – nC_0 \ to – \ infty} [/ math]
[matemática] \ displaystyle {\ text {como n tiende a} \ infty} [/ math]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {x \ a 0 ^ +} f (x) = – \ infty} [/ matemáticas]

Según el teorema del valor intermedio (dado que es continuo), [math] f [/ math] alcanza todos los valores en [math] \ mathbb {R} [/ math].

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