Cómo demostrar que la secuencia {cos x} diverge

Answer 1

“Reductio ad absurdum” 😉

¡Puedes probarlo usando una prueba por contradicción! Como ejemplo, este:

Si no le importa, usaré [math] cos (n) [/ math] en lugar de [math] cos (x) [/ math] para evitar cualquier malentendido. (porque estamos discutiendo una secuencia y no una función)

Supongamos que tenemos: [math] \ lim \ limits_ {n \ rightarrow \ infty} cos (n) = \ alpha \ in \ mathbb {R} [/ math]

Si consideramos la siguiente fórmula trigonométrica: [matemática] cos (p) + cos (q) = 2 cos (\ frac {p + q} {2}) cos (\ frac {pq} {2}) [/ matemática]

entonces: [matemáticas] cos (n + 1) + cos (n-1) = 2cos (n) cos (1) [/ matemáticas]

Luego, al usar el límite, tenemos: “[matemáticas] 2 \ alpha = 2 \ alpha cos (1) [/ matemáticas]” de hecho [matemáticas] \ alfa = 0 [/ matemáticas]

Pero si usamos el límite en esta expresión: “[matemáticas] cos (2n) = 2cos ^ {2} n – 1 [/ matemáticas]”, entonces nos da la contradicción [matemáticas] 0 = -1 [/ matemáticas] …

Y significa que nuestra suposición anterior es falsa 😉

PD: puede editarlo para probar que la secuencia “[math] sin (n) [/ math]” también diverge.

Answer 2

Si [math] \ cos n [/ math] converge, entonces [math] u_n = \ cos (n + 1) – \ cos n [/ math] converge a [math] 0 [/ math]. Pero
[matemáticas] u_n ^ 2 + u_ {n – 1} ^ 2 – 2 u_n u_ {n – 1} \ cos 1 = 2 (1 – \ cos 1) \ sin ^ 2 1 [/ matemáticas]
es una constante distinta de cero, por lo que es imposible.

Answer 3

[math] \ cos (x) [/ math] no está hablando correctamente una secuencia en absoluto. Es una expresión o una abreviatura para una curva continua.

La propiedad fundamental que hace que algo sea una “secuencia” (en el uso habitual) es que para cada “punto” o “valor”, hay un siguiente “punto” o “valor”.

La convención habitual es que las entradas se extienden sobre los números naturales o los enteros (los cuales son secuencias de acuerdo con la definición anterior), y luego las salidas se tratan en el mismo orden que las entradas.

Si desea formular mejor su pregunta, debe escribir (usando las etiquetas [math][/math] ) “la secuencia [math] \ {\ cos (n) \} _ {n \ in \ mathbb {N}} [ /matemáticas]”.

Answer 4

La secuencia [matemáticas] {cos (n)}; n = 1,2,3, .. [/ math] no converge, porque es denso en [-1,1], de modo que, por cada número real en [-1,1], hay un sub- secuencia de cos (n) convergente a x. Esto hace que la convergencia a cualquier valor sea imposible.

Answer 5

No converge ni diverge, ya que los valores ni se “acercarán” a un cierto valor, ni irán al infinito.

Por otro lado, x * | cos (x) | divergen, cos (x) / x convergen a 0

Se dice que cos (x) y x * cos (x) literalmente “oscilan”, x * cos (x) oscilará entre + inf y -inf