¿Cómo se prueba esta ecuación sobre la función gamma?

Answer 1

Aquí está la derivación para la primera igualdad. Primero necesitamos una igualdad, que también se puede tomar como una definición alternativa de la función beta:
[matemáticas] B (x, y) = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {s ^ {x-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} ds [/ matemáticas]
Se puede demostrar que esto es equivalente a
[matemáticas] B (x, y) = \ int_0 ^ 1 t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} dt [/ matemáticas]
con una simple sustitución de [math] s = \ frac {t} {1-t} [/ math].

Ahora tenemos:
[matemáticas] B (x, y) \ Gamma (x + y) = [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_0 ^ \ infty \ frac {s ^ {x-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} ds \ cdot \ int_0 ^ \ infty t ^ {x + y-1} e ^ {- t} dt = [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_0 ^ \ infty \ left (\ int_0 ^ \ infty \ left (\ frac t {1 + s} \ right) ^ {x + y-1} \ frac {e ^ {- t} s ^ {-x}} {1 + s} dt \ right) ds = \ cdots [/ math]

Ahora hacemos una sustitución [math] \ frac {t} {1 + s} = u [/ math], por lo tanto [math] t = u (1 + s) [/ math] y [math] \ frac {dt} {1 + s} = du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cdots = \ int_0 ^ \ infty \ left (\ int_0 ^ \ infty u ^ {x + y-1} e ^ {- u (1 + s)} s ^ {x-1} \, du \ derecha) ds = [/ math]
[matemáticas] = \ int_0 ^ \ infty \ left (\ int_0 ^ \ infty u ^ {x + y-1} e ^ {- u (1 + s)} s ^ {x-1} \, ds \ right) du = \ cdots [/ math]

Ahora podemos escribir las integrales como producto
[matemáticas] \ cdots = \ int_0 ^ \ infty u ^ {y-1} e ^ {- u} du \ cdot \ int_0 ^ \ infty (us) ^ {x-1} e ^ {- us} u \, ds = \ cdots [/ math]

Y hagamos otra sustitución: [math] us = v [/ math], por lo tanto [math] u \, ds = dv [/ math]

[matemáticas] \ cdots = \ int_0 ^ {\ infty} u ^ {y-1} e ^ {- u} \, du \ cdot \ int_0 ^ \ infty v ^ {x-1} e ^ {- v} \ , dv [/ math]
[matemáticas] = \ Gamma (x) \ Gamma (y) [/ matemáticas]

Por lo tanto, dividiendo [matemáticas] B (x, y) = \ frac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} [/ math]

Fuente: Apuntes para el curso de Análisis II, por Josip Globevnik y Miha Brojan (página 93, 94)

Answer 2

A2A.

Pista: probablemente lo sepas

Gamma (x + 1) = x Gamma (x)

Entonces, si n es un entero, n! = Gamma (n + 1)

Use esto para escribir n-choose-m en términos de Gammas, comience desde rhs y divida y multiplique por combinaciones apropiadas de gammas. Obtendrá los lhs expresados ​​en términos de gammas.

Buena suerte, esto es suficiente pista, ¡así que no te rindas!

Answer 3

Si solo quiere entenderlo, puede considerar la función gamma como factorial. Es decir, gamma (n) = (n-1)!

Conéctelo y encontrará la respuesta.