¿Cuál es la diferencia entre [math] 2 ^ \ infty [/ math] y [math] \ infty ^ 2 [/ math]?

Answer 1

No hay diferencia en realidad. El símbolo [math] \ infty [/ math] significa infinito analítico; solo se usa para representar un proceso limitante en los enteros o los reales. No representa lo que podríamos llamar infinito teórico de conjuntos , es decir , cualquier cardenal infinito en particular como [math] \ aleph_0 [/ math] o incluso un cardenal infinito no especificado.

Es cierto que si [math] \ kappa [/ math] es un cardenal, incluido un cardenal infinito, entonces [math] 2 ^ \ kappa> \ kappa [/ math] (teorema de Cantor) mientras que [math] \ kappa ^ 2 = \ kappa [/ math] dado el axioma de elección. Inmediatamente se deduce que [matemáticas] 2 ^ \ kappa> \ kappa ^ 2 [/ matemáticas] dado el axioma de elección, donde [matemáticas] \ kappa [/ matemáticas] es cualquier cardenal infinito. Sin embargo, no es correcto escribir
\ begin {ecuación}
2 ^ \ infty> \ infty ^ 2
\ end {ecuación}
porque como dije antes, [math] \ infty [/ math] no significa “cardenal infinito”. En cambio, representa un proceso limitante, por lo que la diferencia entre [matemáticas] 2 ^ \ infty [/ matemáticas] y [matemáticas] \ infty ^ 2 [/ matemáticas] es el límite
\ begin {ecuación}
2 ^ \ infty – \ infty ^ 2: = \ lim_ {x \ to \ infty, y \ to \ infty} 2 ^ x – y ^ 2
\ end {ecuación}
y ese límite no existe. Por otro lado, está claro que
\ begin {align}
2 ^ \ infty & = \ infty \\
\ infty ^ 2 & = \ infty
\ end {alinear}
entonces, en otro sentido, no hay diferencia.

Answer 2

Deje [math] f (x) = 2 ^ xx ^ 2 [/ math] y busquemos [math] \ lim_ {x \ to \ infty} f (x) [/ math].

Primero necesitamos encontrar su derivada.

[matemáticas] f (x) = 2 ^ xx ^ 2 \ rightarrow f ‘(x) = 2 ^ x \ ln 2-2x [/ matemáticas].

Para saber si la función es ascendente o descendente en cualquier rango, necesitamos encontrar el signo de la primera derivada. Y para hacer eso necesitamos encontrar las raíces de derivadas primero usando la función Lambert W.

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ x \ ln 2-2x [/ matemáticas]
[matemáticas] f ‘(x) = 0 \ flecha derecha 2 ^ x \ ln 2-2x = 0 [/ matemáticas]

[Matemáticas] \ rightarrow 2 ^ x \ ln 2 = 2x \ rightarrow {x \ over 2 ^ x} = {\ ln 2 \ over 2} \ rightarrow {x \ over e ^ {\ ln 2 ^ x}} = { \ ln 2 \ over 2} \ rightarrow {x \ over e ^ {x \ ln 2}} = {\ ln 2 \ over 2} [/ math]

[matemáticas] \ rightarrow xe ^ {- x \ ln 2} = {\ ln 2 \ over 2} \ rightarrow (-x \ ln 2) e ^ {(- x \ ln 2)} = – {1 \ over 2 } \ ln ^ 2 2 [/ matemáticas]

Podemos usar la función Lambert W ahora ([matemáticas] W (ze ^ z) = z [/ matemáticas]):

[matemáticas] W _ {(- x \ ln 2) e ^ {(- x \ ln 2)}} = W _ {- {1 \ over 2} \ ln ^ 2 2} [/ math]

[matemática] \ rightarrow -x \ ln 2 = W _ {- {1 \ over 2} \ ln ^ 2 2} \ rightarrow x = – {W _ {- {1 \ over 2} \ ln ^ 2 2} \ over \ En 2} [/ matemáticas]

Y para soluciones reales podemos usar [math] W_0 [/ math] y [math] W _ {- 1} [/ math]:

[matemáticas] x_1 = – {W_0 \, _ {(- {1 \ over 2} \ ln ^ 2 2)} \ over \ ln 2} \ aprox 0.485 [/ math]

[matemática] x_2 = – {W _ {- 1} \, _ {(- {1 \ over 2} \ ln ^ 2 2)} \ over \ ln 2} \ aprox 3.212 [/ math]

Una gráfica de la derivada solo para verificar dos veces:

Ahora podemos encontrar el signo de la derivada (y si la función es descendente o ascendente en ese rango) probando tres regiones. Así que escojamos x = 0, x-1 yx = 4;

[matemática] f ‘(0) \ aproximadamente 0.693> 0 [/ matemática] entonces f (x) es ascendente para todas [matemática] x <0.485 [/ matemática].
[matemática] f ‘(1) \ aprox -0.614 <0 [/ matemática] entonces f (x) está descendiendo para todos 0.485 [matemática] f ‘(4) \ aproximadamente 3.090> 0 [/ matemática] entonces f (x) es ascendente para todas [matemática] x> 3.212 [/ matemática].

(Como puede ver, el gráfico está de acuerdo con lo que hemos encontrado hasta ahora, y otra cosa, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas] son ​​las soluciones triviales para [matemáticas] 2 ^ xx ^ 2 = 0 [/ math]. Puede encontrar la otra raíz utilizando la función Lambert W).

Como [math] 2 ^ xx ^ 2 [/ math] está ascendiendo para todos [math] x> 3.212 [/ math], podemos decir que [math] \ lim_ {x \ to \ infty} 2 ^ xx ^ 2 = + \ infty [/ math] y [math] 2 ^ \ infty> \ infty ^ 2 [/ math] (en cierto sentido).

Esto se debe a que [math] \ infty ^ 2 [/ math] tiene la misma cardinalidad que [math] \ infty [/ math] mientras que [math] 2 ^ \ infty [/ math] tiene una cardinalidad mayor que [math] \ infty [ /matemáticas].

Lea también la respuesta de Alan Bustany.

Para resumir, [math] 2 ^ \ infty [/ math] tiene una mayor cardinalidad que [math] \ infty ^ 2 [/ math].

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Puede calcular la función Lambert W o el registro del producto ([math] W_kx [/ math]) usando productlog [k, x] usando Wolfram | Alpha: Computational Knowledge Engine

Bests.

Answer 3

Hay una manera muy simple de visualizar la diferencia entre [matemática] 2 ^ {\ infty} [/ matemática] y [matemática] {\ infty} ^ 2 [/ matemática]. Equipemos las dos expresiones anteriores a [math] y [/ math], y tratemos los infinitos como [math] x [/ math].
Tracemos [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas]
Para la ecuación [math] 1 ^ {\ text {st}} [/ math] (correspondiente a [math] 2 ^ {\ infty} [/ math]), el gráfico se parece a esto:
mientras que para [ecuación] 2 ^ {\ text {nd}} [/ matemática] ecuación (correspondiente a [matemática] {\ infty} ^ 2 [/ matemática]), el gráfico se ve algo así:
ambos alcanzan [math] \ infty [/ math] a lo largo del eje y, pero miren la forma de acercamiento. El [matemático] 1 ^ {\ text {st}} [/ matemático] parece ser mucho más loco que el [matemático] 2 ^ {\ text {nd}} [/ matemático].
Según yo, este tipo de visualización ayuda a comprender las diferencias entre el enfoque hacia el infinito. Pero, no es una forma de verificar los grados de infinito.
Para las personas mucho más curiosas, otras respuestas ya se refieren a los teoremas de Cantor, por lo que no los voy a repetir.
EDITAR 1: Gracias por aclarar mi concepto erróneo Johnny Ho.

Answer 4

[math] 2 ^ \ infty [/ math] es un conjunto de poderes y tiene una cardinalidad (o “tamaño”) estrictamente mayor que [math] \ infty [/ math]. En particular si [math] | \ infty | = \ beth_n [/ math] entonces

[matemáticas] \ left | 2 ^ \ infty \ right | = \ beth_ {n + 1}> \ beth_n [/ math]

[math] \ infty ^ 2 [/ math] sin embargo tiene una cardinalidad igual a [math] \ infty [/ math]. Esto se muestra de la misma manera que los racionales, [matemática] \ Q [/ matemática], son contables, es decir, tienen la misma cardinalidad que los números naturales, [matemática] \ N [/ matemática], ya que los racionales son realmente solo pares de números naturales. Por lo tanto

[matemática] \ left | \ infty ^ 2 \ right | = \ beth_n <\ left | 2 ^ \ infty \ right | [/ math]

El más pequeño [math] \ infty [/ math] es el infinito contable de los números naturales y se define como [math] \ aleph_0 \ equiv \ beth_0 [/ math]. Por este infinito

[matemáticas] \ left | 2 ^ {\ aleph_0} \ right | = \ left | \ R \ right | = \ beth_1 [/ math]

[math] \ aleph_1 [/ math] se define como el segundo infinito más pequeño. Se sabe que la hipótesis del continuo , si [math] \ beth_1 [/ math] es igual a [math] \ aleph_1 [/ math], es independiente de los axiomas usuales de ZFC de la teoría de conjuntos.

Answer 5

Hay una gran diferencia, que es el orden del conjunto, el primero será lo que se llama “aleph one”, el segundo es igual al infinito habitual en orden, y se llama “aleph null”, y es “más pequeño” que El anterior.
Este sorprendente resultado (que hay infinitos órdenes diferentes) fue descubierto por primera vez por Cantor, puedes encontrar más en Wikipedia.

Answer 6

El infinito allí puede interpretarse de varias maneras; Asumiré que es un cardenal transfinito.

Según el teorema de Cantor, $ 2 ^ x> x $ para cardenales transfinitos $ x $. La prueba implica un buen uso de la diagonalización y otras cosas, bla, bla.

Sin embargo $ x ^ 2 = x $. Uno puede probar esto considerando los dos conjuntos infinitos:
{(0,0), (0,1), (0,2)…, (1,0), (1,1), (1,2)…, (2,0)… (3,0) ………}
y
{0,1,2,3,4,5,6,…}
Podemos dibujar una relación uno a uno mediante la siguiente biyección:
{0 -> (0,0), 1 -> (0,1), 2 -> (1,0), 3 -> (0,2), 4 -> (1,1), 5 -> ( 2,0), …}
Como puede dibujar una línea (abstracta e imaginaria) de cada elemento de un conjunto a otro, tienen el mismo tamaño.

Claramente, un conjunto tiene el tamaño de los números naturales al cuadrado y uno tiene el tamaño de solo los números naturales, pero son los mismos.

Answer 7

son dos “tamaños” diferentes de infinito. En otras respuestas, puede encontrar la diferencia entre entonces, pero puedo mostrarle una cosa, que 2 ^ infinito es “infinito veces” más grande que infinito ^ 2.

Vamos a llamarlos de 2 ^ x y x ^ 2. si tomas el límite de cada uno cuando x va al infinito, tienes exactamente lo que dijiste.

Si divide el primero por el segundo, tiene (2 ^ x) / x ^ 2, y toma el límite cuando x va al infinito, tiene una indeterminación (infinito / infinito).
Si aplica la regla L’hopital 2 veces y toma el límite cuando x va al infinito, tendrá (log ^ 2 (2) * infinity) / 2 = infinity.

Significa que 2 ^ infinito es infinito veces mayor que 2 ^ infinito

Answer 8

Son diferentes si los considera como cardenales. Si [math] \ infty = \ aleph_0 [/ math], entonces [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] tiene una forma diferente [math] \ aleph_0 ^ 2 = \ aleph_0 [/ math].