¿Existe una familia de funciones f (x) que, cuando se aplica a la serie de datos x, la nueva media = f (media), la nueva stdev = f (stdev), y así sucesivamente con los momentos más altos, donde media, stdev, etc. ¿son los de la serie de datos de entrada ‘base’ x?

Answer 1

Supongo que desea una función que funcione para “cualquier” información / distribución, no solo una.
Supongamos que la distribución tiene una función generadora de momentos (para datos finitos, este es siempre el caso).
Ahora X e Y = f (X) tienen los mismos momentos significa que tienen la función generadora / función característica del mismo momento, y por transformada inversa de Fourier X e Y tienen la misma distribución.
(1) Para el conjunto de datos finitos, esto significa que el conjunto de Y’s es solo una permutación de X’s. Para que esto suceda en cualquier conjunto de datos, un poco de álgebra muestra que f tiene que ser una función de identidad (pista: intente primero con uno / dos puntos de datos)
(2) para una distribución de probabilidad arbitraria, para que Y tenga la misma distribución, nuevamente f tiene que ser una función de identidad (ahora tomemos tal que f (a) no sea a, y luego asumamos que X es a con probabilidad 1)
Para un determinado conjunto de datos / distribución, por supuesto, puede encontrar fácilmente muchas de esas funciones. ejemplos:
(1) encuentre un polinomio f tal que [matemáticas] f (x_1) = x_2, …, f (x_ {n-1}) = x_n, f (x_n) = x_1. [/ Matemáticas] [Siempre hay tales polinomios , de grado n + 1, por ejemplo].
(2) Si X es N (1,1) (es decir, Normal con media 1, varianza 1), entonces 2 -X también tienen la misma distribución, y por lo tanto, los mismos momentos.

Answer 2

Todas las funciones lineales de la forma [matemática] f (x) = ax + b [/ matemática] donde a, b son constantes, tendrán la propiedad media que mencionas, pero no la varianza.

Si [math] X [/ math] es la variable aleatoria asociada con la distribución anterior y la nueva variable aleatoria es [math] Y = aX + b [/ math], entonces
[matemáticas] E [Y] = aE [X] + b = f (E [X]) [/ matemáticas] y
[matemáticas] Var [Y] = a ^ 2Var [X] \ neq f (Var [X]) [/ matemáticas]

Por lo tanto, el conjunto anterior de funciones lineales satisface los requisitos medios que propone pero no la varianza. Cualquier otra transformación no lineal de los puntos violaría incluso la restricción dada sobre la media.