¿En qué se diferencia el discriminante de un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático] del polinomio [matemático] p (x) +1 [/ matemático]?

Answer 1

No hay una respuesta simple a esta pregunta en términos de los coeficientes del polinomio [math] p [/ math]. Déjame mostrarte esto.

Como probablemente sepa, el discriminante [matemático] D [/ matemático] de [matemático] p [/ matemático] está relacionado con el resultante [matemático] R (p, p ‘) [/ matemático] por

[matemáticas] D = (-1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} R (p, p ‘). [/ matemáticas]

Deje [math] p = x ^ n + a_1 x ^ {n-1} + \ ldots + \ ldots + a_n. [/ Math]

Entonces [math] p ‘= nx ^ {n-1} + a_1 (n-1) x ^ {n-2} + \ ldots + a_ {n-1}. [/ Math]

Entonces la resultante está dada por:

[matemáticas] R (p, p ‘) = \ begin {vmatrix}
1 & a_1 & a_2 & \ cdots & \ cdots & a_n & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\
0 & 1 & a_1 & a_2 & \ cdots & \ cdots & a_n & 0 & \ cdots & 0 \\
\ vdots & 0 & \ ddots & \ ddots & \ ddots & ~ & ~ & \ ddots & ~ & ~ \\
0 & \ cdots & 0 & 1 & a_1 & a_2 & \ cdots & \ cdots & \ cdots & a_n \\
n & (n-1) a_1 & \ cdots & \ cdots & a_ {n-1} & 0 & \ cdots & \ cdots & ~ & 0 \\
0 & n & (n-1) a_1 & (n-2) a_2 & \ cdots & a_ {n-1} & 0 & \ cdots & ~ & 0 \\
\ vdots & 0 & \ vdots & \ vdots & \ vdots & ~ & ~ & ~ & \ vdots & ~ & ~ \\
0 & \ cdots & \ cdots & 0 & n & (n-1) a_1 & \ cdots & \ cdots & \ cdots & a_ {n-1} \ end {vmatrix}. [/ Math]

En [math] 2n-1 \ times 2n-1 [/ math] matriz arriba de las primeras [math] n-1 [/ math] filas corresponden a coeficientes desplazados de [math] p [/ math], y el último [math] n filas [/ math] son ​​coeficientes desplazados de [math] p ‘[/ math].

Definir un polinomio.

[matemática] Q (x) = \ small {\ begin {vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \ cdots & \ cdots & a_n + x & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\
0 & 1 & a_1 & a_2 & \ cdots & \ cdots & a_n + x & 0 & \ cdots & 0 \\
\ vdots & 0 & \ ddots & \ ddots & \ ddots & ~ & ~ & \ ddots & ~ & ~ \\
0 & \ cdots & 0 & 1 & a_1 & a_2 & \ cdots & \ cdots & \ cdots & a_n + x \\
n & (n-1) a_1 & \ cdots & \ cdots & a_ {n-1} & 0 & \ cdots & \ cdots & ~ & 0 \\
0 & n & (n-1) a_1 & (n-2) a_2 & \ cdots & a_ {n-1} & 0 & \ cdots & ~ & 0 \\
\ vdots & 0 & \ vdots & \ vdots & \ vdots & ~ & ~ & ~ & \ vdots & ~ & ~ \\
0 & \ cdots & \ cdots & 0 & n & (n-1) a_1 & \ cdots & \ cdots & \ cdots & a_ {n-1} \ end {vmatrix}}. [/ Math]

Claramente, [matemática] Q (0) = R (p, p ‘) [/ matemática], y estamos interesados ​​en [matemática] Q (1) [/ matemática].

Obviamente, [matemática] Q (x) [/ matemática] es un polinomio de grado como máximo [matemática] n-1 [/ matemática].

Encontremos sus raíces. Como sabemos, el discriminante de un polinomio es [matemáticas] 0 [/ matemáticas] si y solo si tiene múltiples raíces.

Además, en aras de la simplicidad, consideramos solo un caso genérico: es decir, suponemos que [math] p [/ math] y [math] p ‘[/ math] tienen solo raíces simples.

Deje que [math] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots \ alpha_ {n-1} \ in \ mathbf {C} [/ math] sean las raíces de [math] p ‘[/ math].

Entonces [math] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots \ alpha_ {n-1} [/ math] son ​​múltiples raíces de polinomios [math] p (x) -p (\ alpha_1), p (x) -p (\ alpha_2), \ ldots p (x) – p (\ alpha_ {n-1}) [/ math] respectivamente.

Esto implica que [math] -p (\ alpha_1), -p (\ alpha_2), \ ldots -p (\ alpha_ {n-1}) [/ math] son ​​raíces de [math] Q [/ math].

Además, recuerde que [math] Q (0) [/ math] es el discriminante de [math] p [/ math].

Así tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle Q (x) = \ bigl (x + p (\ alpha_1) \ bigr) \ bigl (x + p (\ alpha_2) \ bigr) \ cdot \ ldots \ cdot \ bigl (x + p (\ alpha_ {n-1}) \ bigr) \ dfrac {Q (0)} {\ prod_ {i = 1} ^ {n-1} p (\ alpha_i)}. [/ math]

Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] \ displaystyle Q (1) = Q (0) \ prod_ {i = 1} ^ {n-1} \ left (1 + \ frac {1} {p (\ alpha_i)} \ right) .[/matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] Q (0) \ neq 0 [/ math] ya que por nuestra suposición [math] p [/ math] solo tiene raíces simples.

Claramente, [math] \ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ {n-1} \ left (1 + \ frac {1} {p (\ alpha_i)} \ right) [/ math] es una función simétrica en [ matemática] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots \ alpha_ {n-1} [/ math].

Teóricamente, podemos expresarlo en términos de funciones simétricas elementales, es decir, coeficientes de [math] p ‘[/ math], pero prácticamente no hay forma de obtener estas expresiones para un arbitrario [math] n [/ math] en un caso general .

Answer 2

Para una ecuación cuadrática [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] el discriminante viene dado por

[matemáticas] D_2 = b ^ 2 – 4ac [/ matemáticas]

entonces la diferencia entre los discriminantes de [matemática] p (x) [/ matemática] y [matemática] p (x) +1 [/ matemática] es [matemática] -4a [/ matemática]. Desafortunadamente ese es el único caso fácil. (La pregunta detalla que se supone que el polinomio es monic, por lo que en ese caso es solo -4).

Para una ecuación cúbica (con coeficientes a, b, c, d) el discriminante es

[matemática] D_3 = c ^ 2 b ^ 2 – 4 db ^ 3 – 4 c ^ 3 a + 18abcd – 27 d ^ 2 a ^ 2 [/ matemática]

entonces la diferencia es [matemáticas] -27a ^ 2 (2d + 1) + 18abc – 4b ^ 3 [/ matemáticas]

Hay una fórmula similar para la ecuación cuártica (ver Discriminante polinomial) y para grados más altos, pero el número de términos aumenta rápidamente. Desafortunadamente, no creo que haya una manera fácil de caracterizar en general lo que agrega una constante a las raíces de una ecuación, ni a su discriminante.