Cómo resolver este problema: [matemáticas] \ int \ frac {dt} {t ^ 2 \ sqrt {2-t ^ 2}} [/ matemáticas]

Answer 1

Por lo tanto, parece que su pregunta ha sido respondida, por lo que proporcionaré un método diferente que requiera, una sustitución de Weierstrass y algunas sustituciones trigonométricas. Es largo y un poco complicado. Sin embargo, es interesante.

La integral
[matemáticas] \ int \ frac {1} {t ^ 2 \ sqrt {2-t ^ 2}} dt [/ matemáticas]

Aplicar la sustitución trigonométrica
[matemáticas] t = sin \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] dt = cos \ theta d \ theta [/ matemáticas]

Reformatear la integral
[matemáticas] \ int \ frac {cos \ theta} {sin ^ {2} \ theta \ sqrt {2-sin ^ {2} \ theta}} [/ matemáticas]
Podemos simplificar esto para,
[matemáticas] \ int \ frac {cos \ theta} {sin ^ {2} \ theta \ sqrt {1 + cos ^ {2} theta} [/ matemáticas]
* Dejo todo en términos de seno y coseno para mi próximo paso.

Aplique una sustitución de Weierstrass (sustitución de medio ángulo de tangente ) donde [matemática] u = tan \ frac {\ theta} {2} [/ matemática]
[matemáticas] \ int \ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}} \ cdot \ frac {(1 + u ^ {2}) ^ {2}} {4u ^ {2} } \ cdot \ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}) ^ {2}}} du [/ math]
La integral se ve complicada, pero con algo de trabajo podemos simplificarla,
[matemáticas] \ frac {1} {4 \ sqrt {2}} \ int \ frac {(1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2}) ^ {2}} {u ^ {2} \ sqrt {1 + u ^ {4}}} du [/ math]

Aplique otra sustitución trigonométrica donde, [matemática] u = tany [/ matemática] y [matemática] du = sec ^ {2} ydy [/ matemática] y …

---

Bien , esto se está volviendo ridículamente complicado. Pensé que iba a algún lado con él … El objetivo de la integración es hacer que la función sea más fácil de manejar. Definitivamente, esta no es la estrategia que desea utilizar. La integración por partes es el mejor método para este problema. El [math] dv [/ math] es el [math] \ frac {1} {t ^ {2}} dt [/ math] y el [math] u [/ math] es el [math] \ frac {1 } {\ sqrt {2-t ^ {2}}} [/ math].

Después de la primera iteración, [matemáticas] \ int \ frac {1} {t ^ {2} \ sqrt {2-t ^ {2}}} dt = – \ frac {1} {t \ sqrt {2-t ^ {2}}} – \ int \ frac {1} {\ sqrt {2-t ^ {2}}} dt [/ math]

Para deshacerse de la última integral, aplique una sustitución trigonométrica. Voilá!

Answer 2

Tome [math] {t ^ 2} [/ math] fuera de la raíz.

[matemáticas] \ int \ frac {dt} {t ^ 3 \ sqrt {\ frac {2} {t ^ 2} -1}} [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] \ frac {2} {t ^ 2} -1 {=} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] {du =} \ frac {-4} {t ^ 3} {dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-du} {4} {=} \ frac {dt} {t ^ 3} [/ matemáticas]

Sustituyendo en la pregunta, se convierte en

[matemáticas] \ int \ frac {-du} {4 \ sqrt {u}} [/ matemáticas]

que es igual

[matemáticas] \ frac {-2 \ sqrt {u}} {4} {=} \ frac {- \ sqrt {u}} {2} [/ matemáticas]

Poniendo el valor de [math] {u} [/ math],

[matemáticas] \ frac {- \ sqrt {\ frac {2} {t ^ 2} -1}} {2} [/ matemáticas]

Answer 3

La pregunta cambió ya que esta respuesta fue escrita …
Sin embargo, se puede usar la misma sustitución que convierte el integrando en [math] \ frac 1 2 \ csc ^ 2x dx [/ math]. Este integrando fue uno de los términos que aparece en la solución a continuación, por lo que las respuestas son bastante similares.

Deje [math] t = \ sqrt 2 \ sin x [/ math] para que [math] dt = \ sqrt 2 \ cos x [/ math] y [math] t ^ 2 = 2 \ sin ^ 2 x dx [/ matemáticas].

Esto produce:
[matemáticas] \ int \ frac {\ sqrt {2-t ^ 2}} {t ^ 2} \ dt = \ int \ cot ^ 2 x \ dx [/ matemáticas]

Ahora [matemática] \ cot ^ 2 x = \ csc ^ 2 x -1 [/ matemática]. Entonces

[matemáticas] \ int \ frac {\ sqrt {2-t ^ 2}} {t ^ 2} \ dt = \ int \ csc ^ 2 x -1 \ dx [/ matemáticas].

Como [math] \ frac d {dx} \ cot x = – \ csc ^ 2 x [/ math], obtenemos:
[matemática] \ int \ frac {\ sqrt {2-t ^ 2}} {t ^ 2} \ dt = – \ cot x-x + c [/ math].

Entonces podemos deshacer la sustitución con [math] x = \ arcsin \ frac t {\ sqrt 2} [/ math].

[matemáticas] \ int \ frac {\ sqrt {2-t ^ 2}} {t ^ 2} \ dt = [/ matemáticas] [matemáticas] – \ cot \ left (\ arcsin \ frac t {\ sqrt 2} \ derecha) – \ arcsin \ frac t {\ sqrt 2} + c [/ math].

El primer término se puede limpiar con un poco más de álgebra si lo desea.

Answer 4

[matemáticas] \ int \ frac {dt} {t ^ 2 \ sqrt {2-t ^ 2}} = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ sqrt {2-t ^ 2}} {t ^ 2} + \ frac {1} {2} \ int \ frac {1} {\ sqrt {2-t ^ 2}} [/ matemáticas]. El segundo término es una integral estándar, mientras que el primer término se simplifica a [matemáticas] \ frac {\ sqrt {2}} {4} \ int \ tan ^ 2 (\ theta) [/ matemáticas] con la sustitución [matemáticas] t = 2 \ cos (\ theta) [/ math] que es fácil de evaluar. espero que esto ayude.

¡Salud!

Answer 5

NOTA:
El problema ha sido cambiado
Usando la integración por fracción parcial dos veces
primero aplica la integración por partes a la integral dada que te da
{(Integración + (integración de 2 ^ 0.5-t ^ 2)} / 2 ^ 0.5

luego nuevamente use la integración por fracción parcial para la segunda integral

Supongo que lo entiendes
y no lo estoy resolviendo
porque desafortunadamente
No tengo ninguno
conocimiento del látex

[matemática] \ int [/ matemática] [matemática] t ^ -2 [/ matemática] [matemática] \ matemática {d} t [/ matemática] + [matemática] \ int [/ matemática] dt / (2 ^ 1 / 2-t ^ 2)

la primera integral es un resultado estándar mientras que la segunda se simplifica aún más para
[matemáticas] \ int [/ matemáticas] dt / (2 ^ 0.25 + t) [matemáticas] \ int [/ matemáticas] dt / (2 ^ 0.25-t)
los cuales son resultados estándar

Answer 6

Sustitución trigonométrica. Está en cualquier libro de Cálculo …