Cómo demostrar [matemáticas] \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} + \ Frac {k + 1} {(k + 2)!} = \ Frac {(k + 2 )! – 1} {(k + 2)!} [/ Math]

Answer 1

Comenzaremos con una identidad obvia y manipularemos el lado derecho (RHS):

[matemáticas] \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} = \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} [/ matemáticas]

Multiplique el numerador y el denominador por [matemáticas] (k + 2) [/ matemáticas] en el RHS:
[matemáticas] \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} = \ frac {(k + 2)! – (k + 2)} {(k + 2)!} [/ matemáticas]

Divida la [matemática] – (k + 2) [/ matemática] en el numerador del RHS en [matemática] -1- (k + 1) [/ matemática]:
[matemáticas] \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} = \ frac {(k + 2)! – 1- (k + 1)} {(k + 2)!} [/matemáticas]

Separe el RHS en dos fracciones:
[matemáticas] \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} = \ frac {(k + 2)! – 1} {(k + 2)!} – \ frac {k + 1} {(k + 2)!} [/ Matemáticas]

Finalmente, mueva el último término al otro lado de la igualdad para producir el resultado deseado:
[matemáticas] \ frac {(k + 1)! – 1} {(k + 1)!} + \ frac {k + 1} {(k + 2)!} = \ frac {(k + 2)! – 1} {(k + 2)!} [/ Matemáticas]

Answer 2

Multiplique la primera fracción por [matemáticas] \ frac {(k + 2)} {(k + 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(k + 2) * ((k + 1)! – 1)} {(k + 2) (k + 1)!} + \ frac {(k + 1)} {(k + 2)!} [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(k + 2)! – (k + 2)} {(k + 2)!} + \ frac {(k + 1)} {(k + 2)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {((k + 2)! – k-2 + k + 1)} {(k + 2)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {((k + 2)! – 1)} {(k + 2)!} [/ matemáticas]

Answer 3

Dejar

(K + 2)! = (K + 2) * ((k-1) +2)! = (K + 2) * (k + 1)!

(K + 1)! = (K + 2)! / (K + 2) -> poner esto en el primer término de RHS.

Al resolver solo el primer término de RHS

((((K + 2)! / (K + 2)) -1) / (k + 1) = ((k + 2)! – (k + 2)) / (k + 2)!

= 1- (k + 2) / (k + 2)! → ahora agregue (k + 1) [matemáticas] / (k + 2)! [/ Matemáticas]

1+ (k + 1-k-2) / (k + 2)!
1-1 / (k + 2)!
((K + 2)! – 1) / (k + 2)!

Answer 4

Observe que el lado derecho es
[matemáticas] 1- \ frac {1} {(k + 2)!} [/ matemáticas]
y que el primer término en el lado izquierdo es
[matemáticas] 1- \ frac {1} {(k + 1)!} [/ matemáticas]
Entonces su pregunta se reduce a mostrar
[matemáticas] \ frac {1} {(k + 1)!} – \ frac {1} {(k + 2)!} = \ frac {k + 1} {(k + 2)!} [/ matemáticas]
que se desprende del álgebra simple.

Answer 5

1. Probar [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto

LHS:

[matemáticas] \ frac {3} {6} + \ frac {2} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {5} {6} [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] \ frac {6-1} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {5} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto

2. Suponga que [math] P_j [/ math] es verdadero

[matemáticas] \ frac {(j + 1)! – 1} {(j + 1)!} + \ frac {j + 1} {(j + 2)!} = \ frac {(j + 2)! – 1} {(j + 2)!} [/ Matemáticas]

3. Probar [math] P_ {j + 1} [/ math] es verdadero siempre que [math] P_j [/ math] sea verdadero

LHS:

[matemáticas] \ frac {(j + 2)! – 1} {(j + 2)!} + \ frac {j + 2} {(j + 3)!} [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] \ frac {(j + 3)! – 1} {(j + 3)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(j + 2)! – \ frac {1} {j + 3}} {(j + 2)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(j + 1)! – 1} {(j + 1)!} + \ frac {j + 1} {(j + 2)!} – \ frac {\ frac {j + 2} {j + 3}} {(j + 2)!} [/ math]

[matemáticas] \ frac {(j + 2)! – j-2 + j + 1} {(j + 2)!} + \ frac {j + 2} {(j + 3)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] P_ {j + 1} [/ matemáticas] es verdadero siempre que [matemáticas] P_j [/ matemáticas] es verdadero.

O:

[matemáticas] \ frac {(k + 2)! – k-2 + k + 1} {(k + 2)!} = \ frac {(k + 2)! – 1} {(k + 2)!} [/matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(k + 2)! – 1} {(k + 2)!} = \ frac {(k + 2)! – 1} {(k + 2)!} [/ matemáticas]

Answer 6

El truco es modificar el denominador del primer término. Multiplica el primer término por (k + 2) / (k + 2)

Entonces obtienes:

((k + 2) (k + 1)! – (k + 2) * 1) / ((k + 2) (k + 1)!) + (k + 1) / k + 2)!

Ahora por definición, (k + 2) (k + 1)! = (k + 2)! Entonces, los denominadores de los dos términos coinciden, y puede agregar términos similares.

Te dejo la multiplicación y la simplificación, pero el resto es relativamente fácil.

Answer 7

Multiplique el numerador y el dinominador de la primera fracción por (K + 2):

((k + 2)! – (k + 2)) / (k + 2)! + (k + 1) / (k + 2)! = ((k + 2)! – k – 2 + k + 1) / (k + 2)! = ((k + 2)! – 1) / (k +2)!