La solicitud es esencialmente mostrar que [math] n [/ math] es primo si y solo si el monoide multiplicativo de valores distintos de cero módulo n es un grupo cíclico (de orden n – 1, ya que hemos excluido el módulo de valor 1 n es cero)
En la única dirección, si este es realmente un grupo, tenemos que cada entero es precisamente uno de un múltiplo de n o un módulo invertible n (es decir, coprimo a n), y por lo tanto n debe ser primo.
En la otra dirección, los números enteros módulo a primo comprenden un campo y, por lo tanto, existen a lo sumo [math] m [/ math] soluciones para [math] x ^ m = 1 [/ math], para cada [math] m [ /matemáticas]. Cualquier grupo finito con esta propiedad es cíclico (como se puede ver al considerar el número de elementos de cada orden posible, teniendo en cuenta que el orden de un elemento debe dividir el orden del grupo. Específicamente, no hay suficiente espacio para cada elemento para tener un orden que es un factor propio del orden de grupo: si hay algún elemento de orden $ m $, entonces este elemento genera soluciones [matemáticas] m [/ matemáticas] a [matemáticas] x ^ m = 1 [/ matemática], que por lo tanto serán todas las soluciones para [matemática] x ^ m = 1 [/ matemática], de las cuales precisamente [matemática] \ phi (m) [/ matemática] será de orden [matemática] m [/ matemática ], donde [math] \ phi (m) [/ math] es el número de valores menores que [math] m [/ math] coprime a [math] m [/ math]; por lo tanto, hay cero o [math ] \ phi (m) [/ math] elementos de orden [math] m [/ math] para cada [math] m [/ math] dividiendo el orden del grupo. Sin embargo, la suma de [math] \ phi [/ math] sobre cada divisor apropiado del orden de grupo será menor que el orden de grupo (la diferencia es [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] del orden de grupo en sí ) Por lo tanto, debe haber al menos un elemento cuyo orden sea igual al orden del grupo), y así tenemos que el grupo multiplicativo de valores distintos de cero módulo a primo es cíclico, completando la demostración.
- ¿Por qué [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n-1) [/ math] no es igual al infinito [math] -1 [/ math]?
- Dado un conjunto [matemático] A = \ {1,2,3 \} [/ matemático], sería un conjunto que contiene [matemático] \ {(1,1), (2,2), (3,3) \} [/ math] ser un ejemplo de una relación reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva?
- ¿Qué pueden hacer las fracciones parciales por mí?
- Cómo resolver este problema: [matemáticas] \ int \ frac {dt} {t ^ 2 \ sqrt {2-t ^ 2}} [/ matemáticas]
- ¿En qué se diferencia el discriminante de un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático] del polinomio [matemático] p (x) +1 [/ matemático]?