En álgebra lineal, cuando se prueba que V es un espacio vectorial, en lugar de hacer todas las diez propiedades, si V está cerrado bajo la suma y está cerrado bajo la multiplicación de escala, ¿puedo detenerme allí y decir que V debe ser un espacio vectorial?

Answer 1

Si [math] V [/ math] es un subconjunto de otro espacio vectorial [math] V ‘[/ math] y las operaciones en [math] V [/ math] se heredan de las operaciones en [math] V’ [/ matemática] entonces es suficiente para mostrar que [matemática] V [/ matemática] está cerrada por adición, multiplicación escalar y no vacía (en particular 0 está en [matemática] V [/ matemática]). Esto se debe a que todos los axiomas para un espacio vectorial se mantendrán si los elementos solo pueden provenir de un subconjunto del espacio vectorial dado.

Por ejemplo, verifiquemos que [math] V [/ math] satisface que la suma sea conmutativa. Seré muy pedante con la notación, por favor perdóname. Deje [math] v, w \ en V [/ math]. Como [math] V \ subconjunto V ‘[/ math], también tenemos [math] v, w \ in V’ [/ math]. Entonces

[matemáticas] v + _V w = v + _ {V ‘} w = w + _ {V’} v = w + _V v [/ matemáticas],

entonces la adición en [math] V [/ math] es conmutativa.

En otras palabras, si un subconjunto de un espacio vectorial está cerrado bajo las operaciones y no está vacío, entonces en realidad es un espacio vectorial por derecho propio. Si define un subespacio como un subconjunto que está cerrado bajo las operaciones y no está vacío, puede probar que ese subconjunto es un espacio vectorial; la prueba es que verifica todos los axiomas de un espacio vectorial de manera completamente análoga a lo que hice anteriormente para la conmutatividad de la suma.

En general, si está tratando de mostrar que algo es un espacio vectorial pero no es un subconjunto de algo que ya se sabe que es un espacio vectorial, entonces deberá verificar todos los axiomas de un espacio vectorial.

Answer 2

Necesitas todos los axiomas. Por ejemplo, supongamos que V es el conjunto de matrices 2 × 2. Pero defina la suma de manera que A + B = I para todos los A y B y a A = I para todos los escaladores a. V está trivialmente cerrado bajo estas operaciones, pero ciertamente no es un espacio vectorial.

Puedes heredar algunos de los axiomas. No ha dicho sobre qué campo V está definido. Si dice tomar V definido sobre el número real R. Como R es un campo, tiene asociatividad y conmutatividad para los elementos individuales. Mostrar los diferentes axiomas en realidad se vuelve bastante trivial.