Volvamos a la definición de notación big-O. Decimos que [math] f (n) = O (g (n)) [/ math] si y solo si [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ dfrac {\ left | f (x) \ right |} {\ left | g (x) \ right |} <\ infty [/ math].
En este problema, mientras [math] n \ geq 1 [/ math], tanto [math] f (n) [/ math] como [math] g (n) [/ math] no serán negativos, entonces podemos soltar los signos de valor absoluto. Así evaluamos:
[matemáticas] L = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {(\ log n) ^ {\ log n}} {7 ^ {(\ log_ {2} {n}) ^ {2}}} [ /matemáticas]
Tomando el registro de ambos lados se obtiene:
- ¿Cuál es el número más pequeño que, cuando se divide entre a, b, c, deja un resto de d, e, f respectivamente?
- Un cierto número ‘C’ cuando se divide por N1 deja un resto de 13 y cuando se divide por N2 deja un resto de 1, donde N1 y N2 son los enteros positivos. ¿Cuál sería el valor de N1 + N2 si N1 / N2 = 5/4?
- [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] x \ cdot x [/ matemáticas] (‘[matemáticas] x [/ matemáticas] veces [matemáticas] x [/ matemáticas]’), pero ¿cómo puede [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] se escribirá?
- ¿Por qué es (4 ^ -3) (2 ^ -3) = 8 ^ -3 y no 8 ^ -6?
- Cómo evaluar: [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1/2) ^ {n + 1} \ ln (2 ^ n) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ log (L) = \ log \ left (\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {(\ log n) ^ {\ log n}} {7 ^ {(\ log_ {2} {n }) ^ {2}}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ log \ left (\ dfrac {(\ log n) ^ {\ log n}} {7 ^ {(\ log_ {2} {n}) ^ {2 }}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ log \ left ((\ log n) ^ {\ log n} \ right) – \ log (7 ^ {(\ log_2 n) ^ {2}}) [/matemáticas]
[math] = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (\ log n) \ times (\ log \ log n) – (\ log_2 n) ^ 2 \ log 7 [/ math]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (\ log n) \ times (\ log \ log n) – \ left (\ dfrac {\ log n} {\ log 2} \ right) ^ 2 \ log 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (\ log n) \ times \ left (\ log \ log n – \ left (\ dfrac {\ log n} {(\ log 2) ^ 2} \ right ) \ log 7 \ right) [/ math]
[math] = \ infty \ times (- \ infty) [/ math] ya que el término [math] \ log n [/ math] domina el término [math] \ log \ log n [/ math]
[matemáticas] = – \ infty [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] L = e ^ {- \ infty} = 0 <\ infty [/ math], lo que implica [math] f (n) = O (g (n)) [/ math].