¿Por qué [math] \ log ^ {*} {(\ log {n})} = \ log ^ {*} {n} – 1 [/ math]?

Answer 1

Aquí hay un ejemplo:

Queremos encontrar [math] log ^ * _ 2 (42 ^ {42}) =? [/ Math]

Iteración 1: [matemáticas] log_2 (42 ^ {42}) \ aprox226.5 [/ matemáticas]
Iteración 2: [matemáticas] log_2 (226.5) \ aprox7.8 [/ matemáticas]
Iteración 3: [matemáticas] log_2 (7.8) \ aprox3.0 [/ matemáticas]
Iteración 4: [matemáticas] log_2 (3.0) \ aprox1.6 [/ matemáticas]
Iteración 5: [matemáticas] log_2 (1.6) \ aprox0.7 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] log ^ * _ 2 (42 ^ {42}) = 5 [/ matemáticas]

Ahora considere [math] log ^ * _ 2 (log_2 (42 ^ {42})) =? [/ Math]

Paso 1: [math] log_2 (log_2 (42 ^ {42})) \ approx7.8 [/ math]
Paso 2: [matemáticas] log_2 (7.8) \ aprox3.0 [/ matemáticas]
Paso 3: [matemáticas] log_2 (3.0) \ aprox1.6 [/ matemáticas]
Paso 4: [matemáticas] log_2 (1.6) \ aprox0.7 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] log ^ * _ 2 (log_2 (42 ^ {42})) = 4 = log ^ * _ 2 (42 ^ {42}) – 1 [/ math]

Simplemente omitió la primera iteración y, por lo tanto, debe restar una iteración de su respuesta anterior.

Además, podemos aplicar la misma lógica para decir que:

[matemáticas] log ^ * _ 2 (log_2 (log_2 (42 ^ {42}))) = 3 = log ^ * _ 2 (42 ^ {42}) – 2 [/ math]

Es posible que desee ver la definición del logaritmo iterado.

Salud,

Answer 2

Acaba de escribir la definición de la función log * (n), porque es igual al número de iteraciones que uno tiene que aplicar n = log (n) hasta que n sea menor que uno. En la parte izquierda de su ecuación, una iteración se realiza a mano: n se reemplaza con log (n), por lo que conduce a -1 en la parte derecha.