Supongo que su índice de suma de [matemáticas] i [/ matemáticas] realmente debería ser un [matemáticas] n [/ matemáticas]. De lo contrario, la respuesta es solo [matemáticas] (1/2) ^ {n + 1} \ ln (2) \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} n = \ text {sgn} (n) \ infty [/ matemáticas].
(Es decir, la respuesta es infinito negativo cuando [matemática] n 0 [/ matemática] y cero cuando [matemática] n = 0 [/ matemática].)
Tenga en cuenta que:
[matemáticas] \ ln (2 ^ n) = n \ ln 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1/2) ^ {n + 1} \ ln (2 ^ n) = \ frac {\ ln 2} 2 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n (1/2) ^ {n} [/ math]
(Tenga en cuenta que el término [matemática] n = 0 [/ matemática] no contribuye en nada a la suma).
La suma que queda es exactamente el valor esperado de una distribución geométrica con el parámetro de la mitad, por lo que se evalúa como dos. (Si no conoce este resultado de la teoría de la probabilidad, hay varias pruebas claras de que [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty np (1-p) ^ {n-1} = \ frac 1 p [ / matemática]. Considere hacer una pregunta sobre Quora donde estoy seguro de que verá algunas buenas respuestas).
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[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1/2) ^ {n + 1} \ ln (2 ^ n) = \ frac {\ ln 2} 2 \ cdot 2 = \ ln 2 [ /matemáticas]