[matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] se puede escribir como [matemáticas] x \ cdot x [/ matemáticas] (‘[matemáticas] x [/ matemáticas] veces [matemáticas] x [/ matemáticas]’), pero ¿cómo puede [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] se escribirá?

Answer 1

EDITAR: Soy consciente de que esto se puede escribir como [math] x \ sqrt x [/ math]. Sin embargo, el enfoque que implica el uso de raíces solo puede funcionar cuando el exponente es un número racional. Esta respuesta aborda la pregunta más general de cómo elevamos un número a un poder REAL arbitrario. Pensé que estaba claro, pero la gente sigue comentando que [math] x \ sqrt x [/ math] es mucho más simple, por lo que quería incluir este párrafo como introducción.

---

Creo que está haciendo una pregunta más amplia que es bastante perspicaz. La mayoría de las personas nunca se molestan en pensar en lo que significa elevar los números a poderes no enteros. Si se preguntan, como usted, a menudo limitan la pregunta a un poder racional. Como muchas otras respuestas mencionan, si el poder es racional, [matemática] \ frac mn [/ matemática], primero puede elevar [matemática] x [/ matemática] a la potencia [matemática] m [/ matemática] (repetidamente multiplicación), y luego intente encontrar la raíz [matemática] n ^ {\ text {th}} [/ matemática] utilizando cualquier cantidad de técnicas numéricas.

Pero, ¿y si el poder no es racional? ¿Qué significa tomar [matemáticas] x ^ r [/ matemáticas] para un par de números reales con [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]?

Resulta que esta operación se puede definir como [matemáticas] x ^ r = e ^ {r \ ln x} [/ matemáticas]. Y, por supuesto, [math] \ ln x = \ int_1 ^ x \ frac {dy} y [/ math] y [math] e [/ math] es el número que satisface [math] \ ln (e) = 1 [ /matemáticas].

Entonces, ¿qué nos compra eso? No sabíamos cómo llevar un número real arbitrario a una potencia real arbitraria, por lo que redujimos el problema a llevar un número real fijo, e , a una potencia real arbitraria. Pero sigue siendo un poder real arbitrario, entonces, ¿estamos mejor?

Resulta que lo somos. Porque elevar e a un poder puede expresarse en términos de una serie de Taylor.

[matemáticas] e ^ {r \ ln x} = 1 + r \ ln x + \ frac {(r \ ln x) ^ 2} {2!} + \ ldots = [/ matemáticas] [matemáticas] 1 + \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {(r \ ln x) ^ k} {k!} [/ math]

Si bien esta representación es una suma infinita, observe que cada término implica llevar números reales a potencias INTEGER positivas que se pueden hacer mediante multiplicación repetida. La serie convergerá para todos los números reales, por lo que si mantenemos suficientes términos, podemos evaluar el resultado con precisión arbitraria. Eso es lo mejor que podemos esperar ya que el resultado no será (en general) racional.

Entonces, como respuesta directa a su pregunta:
[matemáticas] x ^ {1.5} = 1 + 1.5 \ ln x + 1.125 (\ ln x) ^ 2 + [/ matemáticas]
[matemáticas] 0.5625 (\ ln x) ^ 3 + 0.2109375 (\ ln x) ^ 4 + \ ldots [/ matemáticas]

Answer 2

¿Cómo se puede escribir [math] x ^ {1.5} [/ math]? Se puede “escribir” geométricamente en la escala logarítmica de manera muy simple como el “estiramiento” del segmento dirigido asociado a [matemáticas] x [/ matemáticas] por el factor 1.5. En el siguiente diagrama, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Llamo al segmento dirigido de 1 a x en la escala logarítmica la extensión (multiplicativa) de x. Cuando agrega extensiones, obtiene la multiplicación de los números subyacentes. Cuando escala una extensión, obtiene exponenciación del número subyacente.

Un exponente es la escala de una extensión .

No hay duda de la existencia y consistencia de las propiedades de la escala logarítmica y, por lo tanto, de las extensiones. Se pueden usar las propiedades sin saber en detalle cómo se puede construir o medir una escala logarítmica o una extensión particular. Antes, y a menudo en el cálculo, uno usa propiedades de exponentes solamente. Después de todo, es algo matemático hacer uso de las propiedades. Familiarizarse con las extensiones también deja en claro cuáles son las especificaciones antes de que uno realmente se proponga hacer o confirmar una construcción de una medida de ellas.

Por supuesto, uno eventualmente se pregunta: “¿Cómo se mide la extensión de un número real positivo?” Esa es una historia encantadora (cálculo) separada, cuya conclusión es que la mejor manera de hacerlo es con el logaritmo natural, “ln”. Sin embargo, uno puede aprender con confianza a usar “ln” en la calculadora o computadora como medida de la extensión sin tener que mirar cálculos o logaritmos.

Hoy en día, una definición común de cálculo de un poder (generalmente en los capítulos 6 o 7 de un libro de texto; en el capítulo 1 puede encontrar una disculpa incómoda por no poder decirle qué es)

[matemáticas] x ^ p \ text {: =} \ ln ^ {- 1} (p \ cdot \ ln x) = e ^ {p \ ln x} [/ matemáticas].

La primera expresión es la misma que [math] e ^ {p \ ln x} [/ math] porque [math] e [/ math] se define como el número con extensión unitaria, [math] \ ln (e) = 1 [/ matemáticas], de donde

[matemáticas] e ^ {y} = \ ln ^ {- 1} (y \ cdot \ ln (e)) = \ ln ^ {- 1} (y) [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] x ^ p [/ math] es el número cuya extensión es p multiplicada por la extensión de x . (Y [matemática] e ^ y [/ matemática] es el número que obtienes al escalar la extensión de la unidad en [matemática] y [/ matemática].) Lo que sea que hayas pensado antes, y sospecho que para la mayoría de las personas existe no tiene una imagen geométrica, un exponente es, de hecho, una escala de una extensión. (Después de un tiempo con esta idea, comienzas a preguntarte cómo pensabas realmente en los exponentes anteriormente). Esto es mucho más simple conceptualmente que la toma de límites de exponentes racionales. (También simplifica y proporciona una visualización fácil del concepto de logaritmos, proporciones correspondientes a escalas). ¡Y así es como se definen y calculan los exponentes!

Por lo tanto, una respuesta a la pregunta que anticipa ser aplicable a expresiones como [math] x ^ \ pi [/ math] es

[matemáticas] x ^ {1.5} = \ ln ^ {- 1} (1.5 \ cdot \ ln x) [/ matemáticas]

o si quieres

[matemáticas] \ ln (x ^ {1.5}) = 1.5 \ cdot \ ln x [/ matemáticas]

donde [math] \ ln x [/ math] puede entenderse simplemente como una medida adecuada del segmento dirigido asociado a x en la escala logarítmica. (Puede reemplazar [math] \ ln x [/ math] con cualquier logaritmo, digamos [math] \ log x [/ math] que también se encuentra en las calculadoras). Cualquiera de las ecuaciones se puede leer como “[math] x ^ { 1.5} [/ math] es el número cuya extensión es 1.5 veces la extensión de x “. No se necesita nada sobre logaritmos para entender esto. Los alumnos de octavo grado pueden entender la escala logarítmica. Aquí está con un simple “esqueleto” de puntos mostrados.

Esta forma de ver los poderes es totalmente coherente con las mejores definiciones que las matemáticas tienen para ofrecerles en general (incluidos los poderes complejos) y con la forma en que los valores de tales expresiones se calculan con el software. Si desea ver números, debe usar [matemática] \ ln ^ {- 1} (y) = e ^ y [/ matemática], como se explicó anteriormente. Puede escribir cada uno de 2 ^ 1.5 y e ^ (1.5 * ln (2)) en Google y ver que obtiene exactamente el mismo resultado.

Answer 3

Como x ^ (3/4) * x ^ (3/4). 🙂

Pero de manera más general, esto ilustra un tema en matemáticas que sucede mucho, no solo en contextos simplistas. El tema es, al principio de nuestro proceso de descubrimiento o educación, aprendemos un concepto o definición relativamente sencillo. Como la multiplicación y la exponenciación.

Entonces ese concepto o definición lleva a algunas propiedades útiles. Realmente nos gustan las propiedades, y buscamos esas propiedades incluso en escenarios donde el concepto o definición original no funciona .

Aquí hay algunos ejemplos de aritmética básica. Considere, como lo hicieron nuestros antepasados ​​cavernícolas, números enteros básicos. Siempre puedes agregarlos juntos. A veces incluso puedes restarlos, pero no siempre . Después de todo, solo porque un hombre de las cavernas sepa lo que es 4-3, eso no significa que pueda entender 3-4.

Pero luego, a un hombre de las cavernas realmente inteligente se le ocurre la idea de 0 y números negativos. Ahora tenemos estas cosas llamadas enteros, que siempre puedes sumar y restar. Pero tenemos que regresar y hacer una pequeña re-caracterización. Antes de los números negativos, los pequeños hombres de las cavernas aprendieron que los números eran símbolos con los que puedes contar cosas. ¡Pero realmente no puedes contar usando números negativos! Entonces volvieron a aprender qué eran los números: tal vez modificaron su comprensión de que los números enteros positivos se usaban para contar, mientras que los números negativos significaban otra cosa.

Las cosas están yendo bien, y luego a un cavernícola inteligente / perezoso se le ocurrió una buena taquigrafía: la multiplicación. En lugar de escribir 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, puedes escribir 3 * 6. La definición solo se refiere a la suma repetida: x veces y es solo x + x, y veces. La multiplicación ahorra mucho tiempo … ¡genial! Luego, otro hombre de las cavernas inteligente aprendió que a veces (pero no siempre) a veces puedes dividir números.

Pero, ¿y si siempre quisiste dividir números? Ahora, un hombre de las cavernas realmente inteligente ideó números racionales: hay nuevos símbolos como 3/2 para trabajar. Esto significaba que tenía que regresar y volver a caracterizar la multiplicación: en lugar de simplemente definirla como una suma repetida, tenía que encontrar una definición para la cual las expresiones como (1/2) * (3/4) tengan sentido.

Y así.

Este ejercicio de extender conceptos a nuevas áreas a menudo implica nuevas caracterizaciones creativas o redefiniciones. Y este ejercicio no se limita solo a la aritmética del hombre de las cavernas. La geometría, por ejemplo, fue un campo de estudio muy útil durante miles de años antes de que surgiera el concepto de “geometría no conmutativa”. O “topología no conmutativa”, o “probabilidad no conmutativa” o cualquier otra cosa “no conmutativa”. Sin atascarse en detalles técnicos, este florecimiento de análogos no conmutativos a los temas matemáticos clásicos se debe a un ejercicio similar: las personas se dieron cuenta de que la geometría, la topología, la probabilidad o cualquier otra cosa podría entenderse con referencia a un tipo correspondiente de estructura matemática. Esas estructuras matemáticas eran todas “conmutativas”, pero el requisito de conmutatividad podría eliminarse fácilmente una vez que las cosas se formularan de la manera correcta. Por lo tanto, geometría no conmutativa, etc.

Answer 4

Puede hacer algunas cosas, teniendo en cuenta que [matemáticas] x ^ {0.5} = \ sqrt {x} [/ matemáticas], y recordando sus reglas de exponente.

[matemáticas] x ^ {1.5} = x ^ 1 \ veces x ^ {0.5} = x \ sqrt {x} = \ sqrt {x ^ 3} = \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3 = x ^ {3/2} [/ matemáticas]

Answer 5

Para [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], primero se define [math] x ^ {1 / n} [/ math] para [math] n \ in \ mathbb {N ^ *} [/ matemáticas] como la solución [matemáticas] s [/ matemáticas] de la ecuación [matemáticas] s ^ n = x [/ matemáticas].

A partir de esto, si [math] r = \ frac {p} {q} \ in \ mathbb {Q} [/ math], una definición podría ser [math] x ^ {r}: = (x ^ {1 / q }) ^ p [/ math], que esto [math] p [/ math] multiplicado por la solución [math] s [/ math] de la ecuación [math] s ^ q = x [/ math].

Si aplicamos esto a [math] 1.5 = \ frac {3} {2} [/ math], finalmente tenemos [math] x ^ {1.5} = (\ sqrt {x}) ^ 3 [/ math].

Atención, para algunos [matemática] x [/ matemática], el problema [matemática] s ^ q = x [/ matemática] puede no tener una solución, por lo tanto, algunos valores de [matemática] x [/ matemática] no pueden definirse , típicamente para valores negativos de [math] x [/ math].

Answer 6

Quería dar una respuesta un poco más intuitiva y prescindir de logaritmos y exponenciales. Estos son geniales y necesarios si trabajas mucho con poderes, pero no ayudan a un novato a comprender las ideas.

Puedes pensar en las potencias enteras como contar el número de factores.
Entonces, x elevado a la tercera potencia se multiplica x por sí mismo tres veces.

Puedes pensar en potencias que son el inverso de los enteros como ese número que se multiplica por sí mismo por el número de factores que cuentan para el entero.
Entonces, x elevado a la quinta potencia es el número tal que elevarlo a la quinta potencia da x. El poder de 1/5 es la quinta raíz en otras palabras.

Puedes pensar en poderes que son números racionales como una combinación de los dos anteriores.
Entonces, x elevado a la potencia 3/5 es x elevado a la potencia 1/5 (el número tal que elevarlo a la potencia 5 da x) multiplicado por sí mismo

Puedes pensar en un poder negativo como simplemente el inverso multiplicativo de su primo positivo.
Entonces 2 elevado a -2 es 1/4.

Si el poder es irracional , puede usar el concepto de límite . Si aproxima el poder por una secuencia de números racionales que se acercan a él como un límite, los resultados resultantes se acercarán al poder irracional como un límite. Por ejemplo, pi puede expandirse en más y más dígitos, y esos son equivalentes a los racionales 3, 31/10, 314/100, …, etc.

Answer 7

Si desea escribirlo en forma de un producto de variables discretas, no hay forma de hacerlo. Sin embargo, puede trabajar hacia atrás desde la respuesta y obtener un resultado similar.

[matemáticas]
y = x ^ {0.5}
[/matemáticas]
[matemáticas]
y = x ^ {\ frac {3} {2}}
[/matemáticas]
[matemáticas]
y ^ 2 = x ^ 3
[/matemáticas]

Ahora,

[matemáticas]

y * y = x * x * x

[/matemáticas]

Answer 8

En Matemáticas, siempre convierte el decimal en fracción .

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ {1.5} = x ^ {\ frac 32} = \ sqrt {x ^ 3} = \ sqrt {x \ cdot x \ cdot x} [/ math]

También puedes simplificarlo:

[matemáticas] x ^ {1.5} = \ sqrt {x \ cdot x \ cdot x} = \ sqrt {x ^ 2 \ cdot x} = \ sqrt {x ^ 2} \ cdot \ sqrt x = x ^ {\ frac 22} \ cdot x ^ {\ frac 12} = x ^ {1+ \ frac 12} = x \ sqrt x [/ math]

¡Hecho! ✔

Answer 9

Permítanme presentarles un caso análogo:
Suponga que desea expresar [matemáticas] 2x [/ matemáticas] como una suma de dos [matemáticas] x [/ matemáticas] s, es decir
[matemáticas] 2x = x + x [/ matemáticas].
Hay dos [math] x [/ math] s enteros que juntos forman [math] 2x [/ math]
Sin embargo, si desea saber express [math] 1.5x [/ math] de manera similar.
Tendría que incluir una [matemática] x [/ matemática] completa y otra mitad [matemática] x [/ matemática], es decir:
[matemáticas] 1.5x = x + 0.5x [/ matemáticas] o [matemáticas] 1.5x = x + \ frac {1} {2} x = x + x- \ frac {1} {2} x [/ matemáticas]
Hay varias formas de expresar el segundo término.
Del mismo modo, si tienes [matemáticas] x ^ {2} [/ matemáticas], que es la multiplicación de dos [matemáticas] x [/ matemáticas] s completas, es decir, [matemáticas] x ^ {2} = x \ cdot x [/ math], sin embargo, si desea expresar [math] x ^ {1.5} [/ math], que tiene una x completa x otra raíz cuadrada x, o [math] x ^ {0.5} [/ math].
Por lo tanto tenemos:
[matemáticas] x ^ {1.5} = x \ cdot x ^ {0.5} = x \ cdot \ sqrt {x} = x \ cdot \ frac {x} {\ sqrt {x}} [/ math].
Nuevamente, hay varias formas en que puede expresar el segundo término.

Answer 10

Si deja de pensar en los exponentes [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas] como “x veces sí y veces”, en cambio, piense en ello como algo que sigue la regla [matemáticas] x ^ {a + b} = x ^ a \ cdot x ^ b [/ math] entonces se pone mejor.

Entonces puedes pensar que 1.5 es 1 + .5, y obtienes [math] x \ cdot x ^ {. 5} [/ math]. Este negocio .5 podría ser un problema, entonces, ¿qué más podríamos hacer con él? Bueno, si sabemos por nuestra regla que [matemáticas] x ^ 1 = x ^ {. 5} \ cdot x ^ {. 5} = (x ^ {. 5}) ^ 2 [/ matemáticas] entonces está bastante claro que [matemáticas] x ^ {. 5} = \ sqrt x [/ matemáticas].

Answer 11

Cuando las personas solicitan una explicación intuitiva de un tema matemático, generalmente significan una modelización intuitiva, así que aquí hay una modelización de exponentes racionales:

Imagina una máquina que altera el tamaño. Esta máquina tiene 3 entradas.

[matemáticas] [número: – velocidad de escala: – duración: -] [/ matemáticas]

El primero toma un número para escalar, el otro toma una velocidad de escala
y el último toma la duración de la ejecución de la máquina.

Aquí hay un ejemplo:

[matemáticas] [número: 1, velocidad de escala: 3, duración: 2] [/ matemáticas]

la velocidad de escala es 3, lo que significa que el número crece 3 veces por segundo, y la duración durante la cual dejamos que la máquina funcione es de 2 segundos. como tal, el número 1 se convierte en [matemáticas] 3 * 1 = 3 [/ matemáticas] el primer segundo y [matemáticas] 3 * 3 = 9 [/ matemáticas] el segundo cuando la máquina se detiene.

En general, un número [matemático] n [/ matemático] que crece con una velocidad de escala [matemático] s [/ matemático] durante [matemático] d [/ matemático] segundos completos se convierte en

[matemáticas] n * (s ^ d) = n * (s * s * s * .. (d veces) .. * s) [/ matemáticas]

De ahora en adelante en lugar de escribir

[matemáticas] [número: n, velocidad de escala: s, duración: d], [/ matemáticas]

lo estaremos escribiendo como

[matemáticas] n * (s ^ d) [/ matemáticas]

Esto está bien definido para segundos completos, pero ¿qué sucede si dejamos que la máquina funcione durante [matemática] 1.2, 345.3453 [/ matemática] o cualquier duración de segundo no completa para ese asunto? Nos gustaría extender nuestra máquina para que funcione con duraciones racionales sin perder sus propiedades existentes .

Imaginemos que dejamos que la máquina funcione durante [math] \ frac ab [/ math] segundos.
Usando nuestra notación anterior obtenemos:

[matemáticas] n * (s ^ {\ frac ab}). [/matemáticas]

Ahora dejemos que la máquina funcione por otros [math] \ frac ab [/ math] segundos. Esto es lo mismo que poner el número [math] n * (s ^ {\ frac ab}) [/ math], en la entrada de número de nuestra máquina (ya que está allí desde la ejecución anterior) y dejar que se ejecute con el mismo scale-speed [math] s [/ math] por otros [math] \ frac ab [/ math] segundos. Usando nuestra notación esto es:

[matemáticas] (n * (s ^ {\ frac ab})) * (s ^ {\ frac ab}) [/ matemáticas].

Ahora imagine que hacemos esto b veces. El resultado final será:

[matemáticas] n * (s ^ {\ frac ab}) * (s ^ {\ frac ab}) *… (b veces) .. * (s ^ {\ frac ab}) [/ math]

que es lo mismo que poner el número n en la máquina y dejar que se ejecute durante [math] \ frac ab * b = a [/ math] segundos. Como tal, el resultado final es el mismo que [math] n * (s ^ a) [/ math]:

[matemáticas] n * (s ^ {\ frac ab}) * (s ^ {\ frac ab}) * .. (b veces) .. * (s ^ {\ frac ab}) = n * (s ^ a ) [/matemáticas]

[matemáticas] (s ^ {\ frac ab}) * (s ^ {\ frac ab}) * .. (b veces) .. * (s ^ {\ frac ab}) = s ^ a. [/ math]

pero como b veces [math] s ^ {\ frac ab} [/ math] es igual a [math] s ^ a [/ math] entonces:

[matemáticas] (s ^ {\ frac ab}) ^ b = s ^ a [/ matemáticas]

y como tal

[matemáticas] s ^ {\ frac ab} = \ sqrt [b] {s ^ a} [/ matemáticas]

Esto nos permite hablar sobre exponentes racionales usando solo exponentes enteros y raíces. Esta modelización también es útil si desea derivar las otras propiedades de exponenciación racional. Por ejemplo, si tenemos [math] n * s ^ {\ frac ab} * s ^ {\ frac cd} [/ math], entonces en nuestra notación esto significa que ponemos el número n en la máquina para [math] \ frac ab [/ math] segundos con una velocidad de escala [math] s [/ math], luego tome ese resultado y vuelva a colocarlo en la máquina durante [math] \ frac cd [/ math] segundos. Pero esto es lo mismo que poner el número [math] n [/ math] en la máquina durante [math] \ frac ab + \ frac cd [/ math] segundos. Como tal:

[matemáticas] s ^ {\ frac ab} * s ^ {\ frac cd} = s ^ {\ frac ab + \ frac cd} [/ math]

Answer 12

La respuesta de Charles Slade es realmente buena, ya que la idea de un exponente no entero es una abstracción de la idea de la multiplicación repetida.

Usar algo como la raíz cúbica de un cuadrado no explica realmente por qué x ^ 1.5 está “entre” x y x ^ 2, lo que uno intuitivamente esperaría que fuera. Para ver esto más claramente, uno necesita usar un marco conceptual como lo que muestra Gerald Harnett. Si la idea de una escala logarítmica es extraña para usted, puede ser más útil pensar en una serie de proporciones.

La multiplicación repetida se puede reformular en términos de proporciones, es decir, x es a 1 (la unidad para la multiplicación) como x * x es a x, ya que x * x * x es a x * x, etc. Pero, si queremos para insertar otras proporciones entre estos? ¿Qué sucede si queremos una función que esté proporcionalmente “entre” x y x ^ 2, es decir, que f (x) sea to x como x ^ 2 sea f (x)? Eso es lo que es un poder de 1.5. Esto también explica por qué los poderes no enteros surgirían en el mundo real, mientras que multiplicar por un número “a mitad de camino” es extraño de imaginar en nuestro mundo físico, la idea de encontrar una solución a una proporción no lo es.

Answer 13

Aquí hay muchas respuestas realmente buenas que detallan cómo expresar [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] usando algunas sumas infinitas muy divertidas de logaritmos. Sin embargo, también agregaré, porque todavía no he visto a nadie mencionarlo, no hay nada especial en [math] x ^ {2} [/ math] aparte del hecho de que 2 puede expresarse como la suma de enteros. [matemáticas] x ^ {2} = x * x [/ matemáticas] pero también es igual a [matemáticas] x ^ {0.5} * x ^ {0.5} * x ^ {0.5} * x ^ {0.5} [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ {1.9} * x ^ {0.1} [/ matemáticas]. Lo importante a recordar aquí es que cuando se multiplica una variable [matemática] x [/ matemática] elevada a cualquier potencia por otra [matemática] x [/ matemática] elevada a otra potencia, la x equivalente equivalente se eleva a la suma de los dos potestades. En la ecuación, hable [matemática] x ^ {a} * x ^ {b} = x ^ {a + b} [/ matemática] para cualquier a y b, y ampliando esto podemos obtener [matemática] (x ^ {a }) ^ {b} = x ^ {ab} [/ math] para cualquier a y b. Esto significa, refiriéndose a su pregunta, que [math] x ^ {1.5} [/ math] puede escribirse un número infinito de formas. Uno de mis favoritos es [matemáticas] x ^ {1.5} = x ^ {2.5-e} (x ^ \ frac {e} {\ pi} * x ^ {- \ frac {1} {\ pi}}) ^ {\ pi} [/ math].

Answer 14

Esta es la idea principal de la definición de [matemáticas] x ^ r [/ matemáticas] donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es real. Ya hemos sabido cómo definir [matemáticas] x ^ p [/ matemáticas] donde [matemáticas] p [/ matemáticas] es racional.
Ahora consideramos una secuencia arbitraria [math] \ {u_n \} [/ math] donde [math] u_n [/ math] es racional y satisface [math] \ lim_ {n \ to \ infty} u_n = r [/ math] . Debido a eso, [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x ^ {u_n} [/ math] existe y denotamos ese valor de [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x ^ {u_n} [ / math] como [math] x ^ r [/ math]. O al introducir una nueva notación, simplemente se convierte en:
[matemáticas] x ^ r: = \ lim_ {n \ to \ infty} x ^ {u_n} [/ matemáticas].

Answer 15

[matemáticas] x ^ {1.5} = x ^ {3/2} = \ sqrt {x ^ 3}. [/ matemáticas]

De manera más general, al elevar algo a un poder racional

[matemáticas] x \ in \ mathbb {Q} = \ frac {p} {q}, [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ x = n ^ {p / q} = \ sqrt [q] {n ^ p}. [/ matemáticas]

Answer 16

Answer 17

¡Todavía no he tomado mi café!

[matemáticas] x ^ {1.5} = x ^ \ frac {3} {2} = {(x ^ \ frac {1} {2})} ^ 3 = ({\ sqrt {x}}) ^ 3 = \ sqrt {x ^ 3} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {x ^ 3} = \ sqrt {x \ cdot x \ cdot x} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] ({\ sqrt {x}}) ^ 3 = \ sqrt {x} \ cdot \ sqrt {x} \ cdot \ sqrt {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (\ sqrt {x} \ cdot \ sqrt {x}) \ cdot \ sqrt {x} = {(\ sqrt {x})} ^ 2 \ cdot \ sqrt {x} [/ math]

[matemáticas] = x \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Wow … mi látex está oxidado … ¡elige tu notación de lo anterior! 🙂

Sin embargo, ¿algo me dice que podrían surgir problemas con los enteros negativos para “x”? Ha pasado un tiempo desde que revisé todas las reglas y propiedades.

Answer 18

Este sitio web tiene una gran explicación intuitiva de los exponentes en su conjunto.

Comprender los exponentes (¿por qué 0 ^ 0 = 1?)

Answer 19

Para visualizar mejor esta pregunta, recuerde que 1.5 es 1 y 1/2, o 3/2. x ^ 1.5 = x ^ (3/2), que también se conoce como la raíz cuadrada de x ^ 3, √ (x ^ 3)

Answer 20

xx ^ 0.5 = x.sqrt (x)