Cómo definir compacidad, conectividad, etc. sin hacer referencia a conjuntos abiertos

Answer 1

Interesante pregunta. Recomiendo el sitio nlab – http://ncatlab.org/nlab/ – como recurso para todo lo relacionado con la teoría de categorías. Mirando allí surgieron algunas ideas geniales:

En términos categóricos, un espacio topológico X está conectado si el functor hom (X, -): Top -> Set conserva coproductos. Por supuesto, si desempaqueta esto, se reducirá a la definición habitual con conjuntos abiertos. Aún así, esa es una destilación intrigante, que se generaliza fácilmente a categorías distintas de Top. Intuitivamente, esto está diciendo que un mapa continuo de un espacio conectado a una unión disjunta de otros espacios está completamente determinado por mapas separados de ese espacio a las diversas piezas que forman la unión disjunta: no hay mezcla del espacio conectado en diferentes piezas de La unión disjunta.

En cuanto a la compacidad, dado un espacio X, podemos formar una categoría Op (X) cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son mapas de inclusión. Entonces, un subespacio compacto K de X es exactamente un “objeto compacto” de Op (X), donde “objeto compacto” es una noción técnica que tiene sentido en cualquier categoría local pequeña que admita colimits filtrados (está bien … eek). Precisamente, esto significa que el functor hom (K, -): Op (X) -> Set conserva los colimits filtrados; entonces X en sí mismo es compacto si hom (X, -): Op (X) -> Set preserva los colimits filtrados. (Tenga en cuenta la similitud con la definición de conectividad dada anteriormente, bastante sorprendente). Los objetos compactos tienen sentido en la categoría Superior, y nos gustaría que fueran exactamente espacios compactos, pero desafortunadamente esto no es del todo cierto. No entiendo todo esto o tengo una imagen intuitiva de por qué los colimits filtrados tienen que ver con la compacidad, pero todo parece genial: para una “aplicación”, los objetos compactos en la categoría Grp resultan ser grupos finamente presentados.

Answer 2

Para espacios métricos, puede definir los conceptos topológicos sin los conjuntos abiertos.

– Secuencia: una secuencia u de un conjunto métrico E converge si hay un elemento L tal que d (L, u (n)) converge hacia 0 (para cualquier eps> 0, hay N tal que n> N => d (L, u (n))

– Continuidad: Sean E, dy F, d ‘dos ​​espacios merticos
f: E -> F es continua en algún punto a cuando, para cualquier eps> 0, existe delta> 0 de modo que, para cualquier x, d (a, x) Una noción equivalente es
– Continuidad secuencial: f: E -> F es continua en algún punto a cuando, para cualquier secuencia u que converge hacia a, f (u) es convergente.

– Compactación secuencial: C es compacta si alguna secuencia u de elementos en C, u tiene un valor de adherencia en C (hay una subsecuencia de u que converge)

– conectividad camino / arco:
C está conectado a la ruta cuando para cualquier a y b en C, hay una ruta continua de a a b. Específicamente, hay una función f: [0; 1] -> C, que es contundente (vista como una función de [0; 1] -> E), de modo que f (0) = ayf (1) = si.
Si se puede elegir f homeomorfo (biyectivo y con inverso continuo), entonces dicho arco está conectado.

Sin embargo, los espacios métricos son solo espacios topológicos con algunas propiedades más (es fácil definir su conjunto de espacios abiertos). La continuidad secuencial y la compacidad secuencial también tienen sentido en un espacio topológico, pero generalmente no son equivalentes si el espacio no es métrico.

Answer 3

No sé la respuesta, pero el siguiente teorema puede ayudar a encontrarla: un teorema de la teoría de la dimensión que puede verse como un puente entre la topología y la topología algebraica.

Teorema
Cada espacio métrico compacto de dimensión n es homeomorfo al límite inverso de politopos n-dimensionales.

PD: puede ser realmente imposible definir la topología en términos de estructura celular en general: ¿no son todos los complejos celulares espacios normales? ¿Quizás para poder definir conjuntos abiertos con celdas necesita generalizar celdas?