Natalia te ha mostrado los cálculos maravillosamente. Permítanme ser casi puramente descriptivo, ya que la pregunta es puramente geométrica, aparte de la ecuación. Observe que la ecuación describe un producto escalar de dos vectores, x y A x . Además, estipula que su producto punto es “constante” (independiente de x ). (El valor 1 a la derecha es un poco de arenque rojo. Solo necesita ser positivo, siempre que A sea positivo definido y simétrico).
Considere ahora la función q que asigna x al producto escalar de x con A x . La gráfica de la ecuación sobre la que preguntó es una curva de nivel (superficie de nivel) de q.
Ahora, la descomposición espectral (mostrada en detalle por Natalia Nezvannova) de A nos proporciona un nuevo conjunto de ejes para nuestro espacio en el que viven estos vectores. Además, este conjunto de ejes está determinado por una base ortonormal (las columnas de la matriz de proyección ortogonal que Natalia muestra en su solución) para el espacio. O A es similar a un múltiplo escalar de la identidad o uno de sus valores propios es estrictamente más grande que todos los demás. Si A es similar a un múltiplo escalar de la identidad, las curvas de nivel de q serán “círculos” o “esferas” porque la multiplicación de A por x “estira” (o “comprime”) x la misma cantidad en todas las direcciones.
En el caso de la dimensión 2, obtenemos círculos para las curvas de nivel de q si A es similar a un múltiplo escalar de la identidad. Pero si A tenía dos valores propios diferentes, entonces uno de los nuevos ejes está “estirado” más (o “comprimido” menos) que el otro. En este caso, las curvas de nivel de q son elipses.
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En el caso de la dimensión 3, las superficies de nivel de q son esferas o algún eje está (tal vez dos están) “estirados” más que (o “comprimidos” menos que) los otros. Esto hace que la forma de las superficies niveladas de q sea elipsoidal.
En espacios dimensionales superiores, la terminología correcta puede, según algunos, ser “hiperesuperficie” de nivel en lugar de “superficie” o “curva” de nivel, y “hiperelipsoidal” para la forma abstracta de la hiperesuperficie de nivel de q.