Dado que [matemática] P (x) = (x + 1) ^ {2n} -x ^ {2n} -2x-1 [/ matemática] (n> 2), ¿cómo puedo demostrar que hay un polinomio [matemática ] Q (x) [/ math] tal que [math] P (x) = x (x + 1) (2x + 1) Q (x) [/ math]?

Answer 1

Enfoque 1: Uso del teorema del factor / resto
[matemáticas] P (x) = (x + 1) ^ {2n} – x ^ {2n} – 2x – 1 [/ matemáticas] n> 2
Dado que la evaluación de P en [matemáticas] x = 0, -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] da 0. [matemáticas] x, (x + 1), [/ math] y [math] (2x + 1) [/ math] divide P (x). Entonces P (x) se puede escribir como [matemáticas] P (x) = x (x + 1) (2x + 1) Q (x) [/ matemáticas].

Enfoque 2:
[matemáticas] P (x) = (x + 1) ^ {2n} – x ^ {2n} – 2x – 1 [/ matemáticas] n> 2
[matemáticas] P (x) = (x + 1) ^ {2n} – (x + 1) – x ^ {2n} – x [/ matemáticas]
[matemáticas] P (x) = (x + 1) ((x + 1) ^ {2n-1} – 1) – x (x ^ {2n-1} + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x + 1-1) (\ sum_ {i = 0} ^ {2n-2} {(x + 1) ^ {2n-2-i}}) [/matemáticas]
[matemáticas] – x (x + 1) (\ sum_ {i = 0} ^ {2n-2} {(- 1.x) ^ {2n-2-i}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x) ((\ sum_ {i = 0} ^ {2n-2} {(x + 1) ^ {2n-2-i}}) [/ matemáticas ]
[matemáticas] – (\ sum_ {i = 0} ^ {2n-2} {(- 1.x) ^ {2n-2-i}})) [/ matemáticas]
[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x) ((\ sum_ {i = 0} ^ {2n-2} {(x + 1) ^ {2n-2-i} – {(-1 .x) ^ {2n-2-i}}}) [/ matemáticas]
sustituyendo [math] j = 2n-2-i [/ math] por los límites de suma da
[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x) (\ sum_ {j = 0} ^ {2n-2} {(x + 1) ^ {j} – (-1.x) ^ {j }}) [/ matemáticas] – (1)
si miras el término dentro de la suma tiene tres casos
A. para j = 0 el término se evalúa a 0
B. para j = 2k + 1 el término se evalúa como
[matemáticas] (x + 1) ^ {2k + 1} + x ^ {2k + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] ((x + 1) + x) Q_j {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] (2x + 1) Q_j {x} [/ matemáticas]
C. para j = 2k el término se evalúa como
[matemáticas] (x + 1) ^ {2k} – x ^ {2k} [/ matemáticas]
[matemáticas] ((x + 1) ^ {k} – x ^ {k}) ((x + 1) ^ {k} + x ^ {k}) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que lo anterior también volverá a ser el caso B o el caso C, dependiendo de si k es impar o par, y que el par eventualmente conduciría a [matemáticas] (x + 1) ^ {2} – x ^ {2} [/ math] que tiene [math] (2x + 1) [/ math] presente.
por lo tanto (1) puede escribirse como
[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x) (2x + 1) (\ sum_ {j = 0} ^ {2n-2} {Q_j (x)}) [/ matemáticas]
sustituyendo [matemáticas] Q (x) = \ sum_ {j = 0} ^ {2n-2} {Q_j (x)} [/ matemáticas] en lo anterior
[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x) (2x + 1) Q (x) [/ matemáticas]

Answer 2

También podemos mostrar esto por inducción en [math] n [/ math]. Para [matemática] n = 1, 2 [/ matemática], la condición se cumple con [matemática] Q_1 (x) = 0 [/ matemática] y [matemática] Q_2 (x) = 2 [/ matemática]. Ahora suponga que [math] Q_n (x) [/ math] y [math] Q_ {n + 1} (x) [/ math] satisfacen la condición y deje que
[matemáticas] Q_ {n + 2} (x) = (1 – x – x ^ 2) Q_ {n + 1} (x) + {} [/ matemáticas]
[matemáticas] (x ^ 2 + x) Q_n (x) + (x + 2) (x + 1) ^ {2n} – (x – 1) x ^ {2n} [/ matemáticas].
Entonces,
[matemáticas] x (x + 1) (2x + 1) Q_ {n + 2} (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (1 – x – x ^ 2) ((x + 1) ^ {2 (n + 1)} – x ^ {2 (n + 1)} [/ matemáticas] [matemáticas] {} – 2x – 1) + {} [/ matemáticas]
[matemáticas] (x ^ 2 + x) ((x + 1) ^ {2n} – x ^ {2n} – 2x – 1) + {} [/ matemáticas]
[matemáticas] x (x + 1) (2x + 1) ((x + 2) (x + 1) ^ {2n} [/ matemáticas] [matemáticas] {} – (x – 1) x ^ {2n}) )[/matemáticas]
[matemáticas] = (x + 1) ^ {2 (n + 2)} – x ^ {2 (n + 2)} – 2x – 1 [/ matemáticas],
completando la inducción.

Answer 3

Gracias por A2A. Esta debería ser fácil.

Debe mostrar, según la definición, que el polinomio [math] x (x + 1) (2x + 1) [/ math] divide [math] P [/ math].

Dado que [math] x (x + 1) (2x + 1) [/ math] es un producto de tres factores lineales diferentes, este es solo el caso si entre las raíces de [math] P [/ math] están las raíces de estos factores lineales

Esas raíces son [matemáticas] 0, -1, – \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Entonces, solo debes calcular:

[matemáticas] P (0) = 1 ^ {2n} – 0 ^ {2n} -2 \ cdot 0 -1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] P (-1) = 0 ^ {2n} – (-1) ^ {2n} +2 -1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] P (- \ frac {1} {2}) = \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {2n} – \ left (- \ frac {1} {2} \ right) ^ {2n} +2 \ cdot \ frac {1} {2} -1 = 0 [/ matemáticas]

Como [math] P [/ math] tiene una raíz [math] 0 [/ math], se deduce que [math] P [/ math] es divisible por [math] x. [/ Math]
Como [math] P [/ math] tiene una raíz [math] -1 [/ math], se deduce que [math] P [/ math] es divisible por [math] x + 1 [/ math].
Como [math] P [/ math] tiene una raíz [math] – \ frac {1} {2} [/ math], se deduce que [math] P [/ math] es divisible por [math] x + \ frac {1 } {2} [/ matemáticas] (o [matemáticas] 2x + 1 [/ matemáticas]).
Por lo tanto, [math] P [/ math] es divisible por su producto.