¿Por qué hay ‘n’ número de raíces para la enésima raíz de cualquier número, digamos unidad?

Answer 1

En su ecuación original, es cierto que [matemática] z = 1 [/ matemática], pero eso se presupuso. Si comenzó con la suposición [matemática] z ^ n-1 = 0 [/ matemática], entonces [matemática] z [/ matemática] puede ser uno de varios valores.

Si [math] \ alpha [/ math] satisface [math] x ^ n-1 = 0 [/ math], entonces también [math] \ alpha ^ k [/ math]. Por lo tanto, las raíces de unidad [matemáticas] n [/ matemáticas] satisfacen una cierta simetría. En particular, si [math] \ alpha [/ math] es primitivo , entonces los números [math] \ alpha ^ 0, \ alpha ^ k, \ alpha ^ {2k},… \ alpha ^ {(n-1) k } [/ math] son ​​todas raíces [math] n [/ math] -th distintas de la unidad.

Alternativamente, uno podría visualizar el mapa [math] f: x \ rightarrow x ^ n [/ math] como torciendo [math] \ mathbb {C} [/ math] y doblándolo en capas [math] n [/ math].
Si tiene problemas para imaginar eso, este artículo tiene algunas demostraciones visuales: http://science.larouchepac.com/r…

Answer 2

Respuesta de TR Subramanian a Si las raíces cúbicas de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] w ^ 0 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] w [/ matemáticas], [matemáticas] w ^ 2 [/ matemáticas] , donde [math] w ^ 3 = 1 [/ math], entonces, ¿cuáles son las raíces cúbicas de [math] -1 [/ math]?

Puede pensar fácilmente en n cuando lee la tercera raíz de la unidad mencionada anteriormente. espero que esto ayude. La idea de lo exponencial tiene que crecer en ti. No es un número real para crecer. [math] e ^ {i \ theta} [/ math] es un vector de magnitud de unidad giratoria. multiplicarlo por sí mismo no altera la magnitud (ya que es 1). Simplemente lo hace [matemático] e ^ {i 2 \ theta} [/ matemático], que es otro vector con su ángulo al eje x dos veces mayor que el del primero. Cuando multiplicas, giras el vector. Digamos que tenía un círculo dividido en 6. Tendrá un ventilador de seis palas.
1) Toma cualquier cuchilla
2) medir el ángulo con el eje x. (Lo llamaré A)
3) gire ese vector 6 veces A. Ahora vea dónde se encuentra el vector. ¿Está en el eje x?

Answer 3

Esto es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra, que establece que cualquier polinomio de grado [matemático] n [/ matemático] con coeficientes complejos tiene raíces complejas [matemático] n [/ matemático]. Simplemente aplique este teorema al polinomio [math] x ^ nc = 0 [/ math] para mostrar que [math] c [/ math] tiene [math] n [/ math] [math] n ^ \ textrm {th} [ / matemáticas] raíces.