Cómo realizar esta integral [matemática] \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {x ^ 2-36}} x \, dx [/ math]

Answer 1

Para una vida fácil, comience con la sustitución convencional

[matemáticas]
x = \ frac {6} {\ cos t}
[/matemáticas]

y la integral se convierte

[matemáticas]
6 \ int \ tan ^ 2 t dt
[/matemáticas]

Pero eso no fue lo que hice. Y fue interesante.

Empezar con

[matemáticas]
x = 6 \ cosh t
[/matemáticas]

La integral se convierte

[matemáticas]
6 \ int \ frac {\ sinh ^ 2 t} {\ cosh t} dt
[/matemáticas]

[matemáticas]
6 \ left (\ int \ cosh t dt – \ int \ frac {1} {\ cosh t} dt \ right)
[/matemáticas]

Tenga en cuenta que

[matemáticas]
\ sinh t = \ frac {\ sqrt {x ^ 2-36}} {6}
[/matemáticas]

La fracción es un poco difícil de integrar.

[matemáticas]
\ frac {dt} {\ cosh t} = \ frac {dt} {\ cosh ^ 2 \ frac {t} {2} + \ sinh ^ 2 \ frac {t} {2}}
[/matemáticas]

que se convierte, estableciendo [matemáticas] y = \ tanh \ frac {t} {2} [/ matemáticas],

[matemáticas]
\ frac {{\ left (\ cosh \ frac {t} {2} \ right)} ^ {- 2} dt} {1 + \ tanh ^ 2 \ frac {t} {2}}
= \ frac {2 dy} {1 + y ^ 2} [/ math]

Entonces, la integral es:
[matemáticas]
6 \ sinh t – 12 * \ tan ^ {- 1} {\ left (\ tanh \ frac {t} {2} \ right)}
[/matemáticas]

Suponer
[matemáticas]
\ tan z = \ tanh \ frac {t} {2}
[/matemáticas]

luego usando las fórmulas

[matemáticas]
\ sinh t = \ frac {2 \ tanh \ frac {t} {2}} {1 – \ tanh ^ 2 \ frac {t} {2}}
[/matemáticas]

y

[matemáticas]
\ tan 2z = \ frac {2 \ tan z} {1 – \ tan ^ 2 z}
[/matemáticas]

obtenemos

[matemáticas]
2z = \ tan ^ {- 1} \ sinh t
[/matemáticas]

Finalmente, juntando todo y expresando en términos de x, la integral es:

[matemáticas]
\ sqrt (x ^ 2-36) – 6 \ tan ^ {- 1} \ frac {\ sqrt {x ^ 2-36}} {6}
[/matemáticas]

Ver: integrar sqrt (x ^ 2-36) / x – Wolfram | Alpha

La diferencia en los dos resultados se debe a que el arcotangente es un ángulo diferente en el mismo triángulo rectángulo. Si Wolfram tiene [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] entonces tengo [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} – \ theta [/ matemáticas]. Hay un cambio de signo en el segundo factor. La [matemática] 3 \ pi [/ matemática] es absorbida por la constante de integración (no mostrada).

Para la verificación, copie y pegue el siguiente código en una ventana de Matlab:

formato largo
f = @ (x) sqrt (x. * x-36) ./ x;
quad (f, 8, 9)

k = @ (t) 6 * (cosh (t) – 1./cosh(t));
quad (k, acosh (8/6), acosh (9/6))

l = @ (t) 6 * sinh (t) – 12 * atan (tanh (t / 2));
l (acosh (9/6)) – l (acosh (8/6))

m = @ (t) 6 * sinh (t) – 6 * atan (sinh (t));
m (acosh (9/6)) – m (acosh (8/6))

g = @ (x) sqrt (x. * x-36);
p = @ (x) g (x) – 6 * atan (g (x) / 6);
p (9) – p (8)

Answer 2

comience con la sustitución [matemáticas] x ^ 2 = 36 u [/ matemáticas]. Esto da
[matemáticas] \ int \ frac {\ sqrt {x ^ 2-36}} x \, dx [/ matemáticas] [matemáticas] = 3 \ int \ frac {\ sqrt {u-1}} {u} \, du [/ math] [math] = 3 \ int \ frac {u-1} {u \ sqrt {u-1}} \, du [/ math]. Luego, ponga [math] t = \ sqrt {u-1} [/ math], lo que hace que la integral sea igual a [math] 6 \ int \ frac {t ^ 2} {1 + t ^ 2} \, dt = 6 \ left (t – \ tan ^ {- 1} (t) \ right) + c [/ math]. Reemplazar de nuevo para obtener la integral en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas].

¡Salud!

Answer 3

Dante es absolutamente correcto, pero hay una manera más fácil de determinar la sustitución correcta que memorizando todas las combinaciones posibles de identidades trigonométricas.

Teniendo en cuenta que tenemos [math] \ sqrt {x ^ 2-36} [/ math] y que quiero que esto sea parte de un triángulo rectángulo, el triángulo obvio para usar es este:
(Digo que esto es “obvio” porque necesitamos la x en la hipotenusa y 6 en una pierna para obtener [math] \ sqrt {x ^ 2-36} [/ math] en la otra pierna).

Tenga en cuenta aquí que

[matemáticas] \ sin \ theta = \ frac {\ sqrt {x ^ 2-36}} {x} [/ matemáticas] y

[matemática] \ sec \ theta = x / 6, [/ matemática] la última de las cuales nos da que

[matemática] \ sec \ theta \ tan \ theta \ frac {d \ theta} {dx} = \ frac {1} {6} [/ matemática].

Esto nos da, por sustitución,

[math] \ int (\ sin \ theta) (6 \ sec \ theta \ tan \ theta \; d \ theta), [/ math]

que se simplifica a

[matemáticas] 6 \; \ int \ tan ^ 2 \ theta \; d \ theta. [/ matemáticas]

---

Editar para agregar : Por supuesto, una vez que termine, ¡no olvide volver y sustituir las expresiones en x por todas sus expresiones en [math] \ theta [/ math]! Nuevamente, el triángulo puede ser bastante útil para esto.

Answer 4

Esta integral requiere una sustitución trigonométrica. Explotamos el hecho de que [math] \ sec ^ 2 x – 1 = \ tan ^ 2 x [/ math]. Además, la derivada de sec x es sec x tan x. Sustituya [matemáticas] x = 6 segundos (\ theta) [/ matemáticas]. Luego puede usar trigonometría para simplificar la integral, calcular la integral y luego reintroducir x.

Answer 5

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {\ sqrt {x ^ 2-36}} {x} \, dx [/ matemáticas]

sustitución trigonométrica (x = 6sect, t = arcsec x / 6):

[matemáticas] \ int 6 \ displaystyle \ frac {\ sin t} {\ cos ^ 2t} \ displaystyle \ frac {\ sqrt {36 \ sec ^ 2t-36}} {6 \ sec t} \, dt [/ math ]

[matemáticas] 6 \ int \ displaystyle \ frac {\ sin t} {\ cos ^ 2t} \ displaystyle \ frac {\ sqrt {36 \ tan ^ 2t}} {6 \ sec t} \, dt [/ math]

[matemáticas] 6 \ int \ displaystyle \ frac {\ sin t} {\ cos ^ 2t} \ displaystyle \ frac {6 \ tan t} {6 \ sec t} \, dt [/ math]

[matemáticas] 6 \ int \ displaystyle \ frac {\ sin ^ 2 t} {\ cos ^ 2t} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 \ int \ displaystyle \ frac {1- \ cos ^ 2t} {\ cos ^ 2t} \, dt [/ math]

[matemáticas] 6 \ int \ displaystyle \ frac {1} {\ cos ^ 2t} -1 \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] -6 \ int \ displaystyle \ frac {- \ csc ^ 2t} {\ cot ^ 2t} \, dt-6t [/ math]

sustitución u (u = cot t)

[matemáticas] -6 \ int \ displaystyle \ frac {1} {u ^ 2} \, du-6t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {u} -6t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ cot t} -6t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan t-6t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan \ sec ^ {- 1} \ displaystyle \ frac {x} {6} -6 \ sec ^ {- 1} \ displaystyle \ frac {x} {6} + C [/ math]

o

[matemáticas] \ tan \ arccos \ displaystyle \ frac {6} {x} -6 \ arccos \ displaystyle \ frac {6} {x} + C [/ math]

Answer 6

Answer 7

Usa la sustitución:

x = 6 segundos A