¿Cuál es el dígito de las unidades del número [matemáticas] 1 ^ {33} + 2 ^ {33} + \ cdots + 89 ^ {33} [/ matemáticas]?

Answer 1

Supongo que prefieres palabras a números,

Así que aquí está mi explicación de 3 etapas:

ETAPA 1 – Operaciones matemáticas básicas,

la forma en que los aprendiste de niño

1. Adición básica:

En sus primeros tratos con las matemáticas, aprendió a hacer esto en papel:
1 2 3 4 5 +
6 7 8 9
——
19134

Entonces, cómo lo hiciste ? A partir del último dígito (ld), agregó todos los números en la columna. Luego anotó el último dígito (ld) de su resultado, y lo que quedaba lo empujó a la siguiente columna para sumarlo. P.ej. : 5 + 9 = 14, escriba 4, tenga 1 “en mente”, agréguelo a la siguiente columna 4 + 8 + 1 = 13, escriba 3, tenga en cuenta 1, agréguelo a la siguiente columna, etc.

2. Multiplicación básica

Reglas similares, operación diferente.
345 *
645
___
1725
1380
2070
____
No voy a ser condescendiente, estoy seguro de que lo sabes muy bien.

ETAPA 2 – Separando tu problema

en pedazos que puedes arreglar hacia un resultado

Tienes que calcular el ld de una suma de números, cada número es el resultado de una multiplicación, solo conoces los números y cómo se multiplican. FÁCIL :))!

1. Averigua qué tiene cada número a la potencia de 33 como último dígito.

2. Agregue los números que acaba de descubrir a un número

3. El último dígito del número que acaba de encontrar es su resultado.

Pero, ¿cómo calculas el último dígito de números tan grandes como 89 ^ 33? Seguramente no tienes que hacer tal multiplicación para descubrir un ld .

EN LUGAR,

Observa como cualquier dígito cuando se multiplica consigo mismo genera un conjunto muy específico de los últimos dígitos:
1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 etc.
2: 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 etc.
3: 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 etc.
4:
5:
6:
7:
8:
9:
0: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00
Complete el resto :)) para que pueda usar este conocimiento para problemas posteriores. Sí ayuda. ( Básicamente multiplico cada número por sí mismo varias veces hasta que noto que el último dígito de cada resultado forma una secuencia repetitiva )

Esto significa que un número que termina en 3, cuando se eleva a la potencia de 33, tendrá un ld muy fácil de encontrar. Puede contar con su secuencia de ld (3) hasta llegar a 33. En su lugar, hagámoslo hasta 3 ^ 7. 9 7 1 3 9 7 1. el ld para 3 ^ 7 es 7. ¿cuál sería el ld para 3 ^ 4001? FÁCIL! : Simplemente divida la potencia del número (4001) entre el número de lds en una secuencia. ld (3) = 3 9 7 1 … hay cuatro números en esta secuencia.

4001/4 = 1000 y el resto de 1.

Esto significa que tiene 1000 secuencias completas y su resto le dice dónde está con la secuencia, en este caso, el (1) primer número de la secuencia, 3.

ETAPA 3: Aplicar todo lo anterior

a tu problema

---

ld (esa gran suma) = ld (ld (1 ^ 33) + ld (2 ^ 33) +… ld (89 ^ 33))

---

Simplemente puede presionarlo y calcular el ld para cada uno de esos ~ 90 números o los que haya en esa suma. :))

O podrías enfocarte en los ld’s. Porque para su propósito, todo lo que necesita saber es:

ld [ ld (1 ^ 33) + ld (2 ^ 33) +… .ld (9 ^ 33) + ld (1 ^ 33) + ld (2 ^ 33) +… .ld (9 ^ 33) + ld ( 1 ^ 33) + ld (2 ^ 33) +… .ld (9 ^ 33) + ld (1 ^ 33) + ld (2 ^ 33) +… .ld (9 ^ 33) + ld (1 ^ 33) + ld (2 ^ 33) +… .ld (9 ^ 33) etc. 9 veces]

Es bastante fácil desde aquí. Debe calcular el ld para cada dígito (1 a 9) cuando se eleva a la potencia de 33, multiplicar el último dígito del resultado por 9, entonces esa es su respuesta.

PERO POR QUÉ ?

En realidad, hay una parte mala de las matemáticas en la que las cosas complicadas tienen soluciones muy fáciles :)). Como su interés está en el último dígito, TODAS SUS OPERACIONES Y ENFOQUE deben estar en los últimos dígitos.

He cambiado de opinión :)) sobre el desafío. No intentes encontrar el penúltimo dígito, será un problema.

Answer 2

Para responder a esto, solo debemos reconocer que el último dígito de un número que dice 2 ^ x es el mismo que el último dígito de 12 ^ x 22 ^ x. Ejemplo: 2 ^ 6 = 64, 12 ^ 6 = 2985984, 22 ^ 6 = 113379904. Y esto es aplicable para todos los dígitos.

Entonces, necesitamos saber el último dígito de estos números: 1 ^ 33, 2 ^ 33, 3 ^ 33, 4 ^ 33, 5 ^ 33, 6 ^ 33, 7 ^ 33, 8 ^ 33, 9 ^ 33, 10 ^ 33.

1 ^ 33: Esto tendría 1 en el lugar de las unidades

2 ^ 33: Los poderes de 2 terminan con 2, 4, 8, 6, y luego la secuencia se repite. Como 33 tiene la forma 4n + 1, 2 ^ 33 tendría 2 en el lugar de las unidades.

3 ^ 33: Los poderes de 3 terminan con 3, 9, 7, 1, y luego la secuencia se repite. Como 33 tiene la forma 4n + 1, 3 ^ 33 tendría 3 en el lugar de las unidades.

4 ^ 33: Las potencias de 4 terminan con 4, 6 y luego la secuencia se repite. Como 33 tiene la forma 2n + 1, 4 ^ 33 tendría 4 en el lugar de las unidades.

5 ^ 33: todas las potencias tienen 5 en el lugar de las unidades

6 ^ 33: Todas las potencias tienen 6 en el lugar de las unidades.

7 ^ 33: Los poderes de 7 terminan con 7, 9, 3, 1, y luego la secuencia se repite. Como 33 tiene la forma 4n + 1, 7 ^ 33 tendría 7 en el lugar de las unidades.

8 ^ 33: Los poderes de 8 terminan con 8, 4, 2, 6, y luego la secuencia se repite. Como 33 tiene la forma 4n + 1, 8 ^ 33 tendría 8 en el lugar de las unidades.

9 ^ 33: Los poderes de 9 terminan con 9, 1, y luego la secuencia se repite. Como 33 tiene la forma 2n + 1, 9 ^ 33 tendría 9 en el lugar de las unidades.

10 ^ 33: Todas las potencias tienen 0 en el lugar de las unidades

Vamos a sumar los dígitos en el lugar de las unidades, y multiplicar por 9 (como tenemos que verificar hasta 89):

(1 + 2 … + 9) * 9 = 45 * 9, que termina con 5.

Por lo tanto, la expresión dada termina con 5.

Answer 3

Ver,

1 ^ cualquier número = 1

2 ^ 1 = 2,2 ^ 2 = 4,2 ^ 3 = 8,2 ^ 4 = 16,2 ^ 5 = 32 (2 en lugar de unidades), 2 ^ 6 = 64 (4 en lugar de unidades) …

Por lo tanto, para 2 el ciclo para unidades de dígitos es 2,4,8,6,2,4,8,…. es decir, cada cuatro veces el ciclo se repite. (Si la duración del ciclo = k, entonces divida el exponente por K y obtenga el resto. Por ejemplo, 2 ^ 16, entonces 16/4 da el resto como 0. Por lo tanto, 6 estará en el lugar de las unidades)

Del mismo modo, el ciclo para 3 es 3,9,7,1,3,9, … aquí también la duración del ciclo = 4.

Para el número 4, la duración del ciclo es 2 como 4,6,4,6,….

Para el número 5 la duración del ciclo = 1.

.

.

.

.

Para el número 9, la duración del ciclo = 4.

Ahora,

Para números como 22,56, … para encontrar el lugar de las unidades solo consideramos el lugar de las unidades. Al igual que para el número 22 ^ 46, haremos 2 ^ 46 para encontrar la respuesta.

Por lo tanto, 1 ^ 33 + 2 ^ 33 + ….. + 89 ^ 33 será como

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) + (1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33 + 10 ^ 33) +

(1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33)

Como 0 ^ cualquier número excepto 0 = 0 podemos reducirlo a

9 (1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 + 4 ^ 33 + 5 ^ 33 + 6 ^ 33 + 7 ^ 33 + 8 ^ 33 + 9 ^ 33)

Por lo tanto 9 (1 + 2 ^ (33 mod 4) + 3 ^ (33 mod 4) + 4 ^ (33 mod 2) + …… + 9 ^ (33 mod 4))

es decir, 9 (1 + 2 ^ 1 + 3 ^ 1 +… .. + 9 ^ 1)

es decir, 9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)

Como sabemos, 1 + 2 + 3 + 4 +… .n = n * (n + 1) / 2

Por lo tanto, 9 * (9 * 10/2) = 9 * 45 = (9 * (cualquier número que termina con 5)) = 5 en el lugar de las unidades.

Puede seguir este tutorial GMAT Quant: Encontrar los dígitos de las unidades de grandes potencias – Blog Magoosh GMAT para comprender mejor las respuestas relacionadas con este tipo de preguntas.

Answer 4

[matemáticas] x ^ {33} + y ^ {33} = [/ matemáticas] [matemáticas] (x + y) (x ^ {32} -x ^ {31} y + x ^ {30} y ^ 2- \ ldots + y ^ {32}) [/ math]

[matemáticas] 1 ^ {33} + 89 ^ {33} = 90d_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {33} + 88 ^ {33} = 90d_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

[matemáticas] 44 ^ {33} + 46 ^ {33} = 90d_ {44} [/ matemáticas]

Entonces, solo [matemáticas] 45 ^ {33} [/ matemáticas] contribuyen al último dígito, y el dígito de la unidad es 5.

Answer 5

No hay nada de aterrador en encontrar el dígito de la unidad de este número.

Cambie el problema a “averiguar el resto cuando se divide por 10”.

De ahí el último dígito,

= R {(1 ^ 33 + 2 ^ 33…. + 9 ^ 33) + (11 ^ 33 + 12 ^ 33… .19 ^ 33) +… .. + (81 ^ 33 + 82 ^ 33… .89 ^ 33)} / 10

(si lo intentas, puedes averiguar la respuesta mentalmente solo después del paso anterior)

= R {9 × (1 ^ 33 + 2 ^ 33 +…. + 9 ^ 33)} / 10

= R [9 × {1 ^ 33 + 2 ^ 33 +… + 5 ^ 33 + (-4) ^ 33 + (-3) ^ 33 +… + (-1) ^ 33}] / 10

(Usé el concepto de residuos negativos aquí en el paso anterior)

= R {9 × (5 ^ 33)} / 10

= 5.

Answer 6

Bueno, tenemos [math] n ^ k \ equiv n \ (mod \ 10) [/ math] if [math] k \ equiv 1 \ (mod \ 4) [/ math]. Esa es una gran pista.

Answer 7

Encontrar el dígito de las unidades es equivalente a encontrar el resto cuando se divide por 10

Usa la función totient de Euler

[matemáticas] \ phi (10) = 10 \ left (1- \ dfrac {1} {2} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {5} \ right) = 4 [/ math]

Por el teorema de Euler

[matemáticas] a ^ x \ mod n \ equiv a ^ {x \ mod \ phi (n)} \ mod n [/ matemáticas]

---

Para la serie,

[matemáticas] (1 ^ x + 2 ^ x +… + n ^ x) \ mod 10 [/ matemáticas]

---

• caso 1: [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

el resto será [matemática] (n \ mod 10) [/ matemática]

• caso 2: [matemáticas] x = 4k [/ matemáticas]

[matemáticas] R = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} mod 10 [/ matemáticas]

• caso 3: [matemáticas] x = 4k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] R = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ mod 10 [/ matemáticas]

• caso 4: [matemáticas] x = 4k + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] R = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} \ mod 10 [/ matemáticas]

• caso 5: [matemáticas] x = 4k + 3 [/ matemáticas]

[matemática] R = \ left (\ dfrac {n (n + 1)} {2} \ right) ^ 2 \ mod 10 [/ math]

---

Para su caso, el caso 3 es la opción,

entonces ans es [matemática] R = \ dfrac {89 * 90} {2} \ mod 10 = 5 [/ matemática]

Answer 8

Hermano,

Ver … el dígito de las unidades de la suma completa se puede obtener sumando los dígitos de las unidades individuales de cada término.

Comencemos con nos. teniendo 1 en lugar de unidades. No importa a qué potencia se eleven, el dígito de la unidad será 1.

Para 2, sigue un patrón. Potencia 1 → 2, Potencia 2 → 4, Potencia 3 → 8, Potencia 4 → 6. Y este patrón continúa.

Para 3, el patrón es 3, 9, 7, 1.

Para 4, es 4, 6.

Para 5, siempre es 5.

Para 6, siempre es 6.

Para 7, es 7, 9, 3, 1.

Para 8, es 8, 4, 2, 6.

Para 9, es 9, 1.

Para 0, siempre es 0.

Ahora tienes la técnica. Encuéntralos, agrégalos … Ahí tienes. La respuesta es 5.

Answer 9

1. 1 ^ 33 = 1
2. 2 ^ 33 = 2 ^ 10 × 2 ^ 10 × 2 ^ 10 × 2 ^ 3 = 102 4 × 102 4 × 102 4 × 8
(Si multiplica los dígitos del lugar de la unidad, es decir, 4 × 4 × 4 × 8, obtendrá un dígito de lugar de la unidad de 2)
3. 3 ^ 33
Siga el principio anterior y obtendrá un número con un dígito de posición de unidad como 3

De manera similar, para 4 ^ 33 obtienes un número con un dígito de posición de unidad como 4
5 ^ 33: 5
6 ^ 33: 6
7 ^ 33: 7
8 ^ 33: 8
9 ^ 33: 9
10 ^ 33: 0

Ahora agregue todos esos dígitos de lugar de unidad, es decir
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0: 4 5
Entonces, agregando dígitos de lugar de unidad, obtienes un número con dígito de lugar de unidad como 5
De manera similar, hasta 89 ^ 33… .u obtiene 9 dígitos de lugar de unidad de tiempo como 5
Por lo tanto, 9 × 5, una vez más obtienes un número con la unidad como 5

Entonces la respuesta es 5.

Answer 10

Este problema no es tan difícil como parece. La belleza del no. 33 es que cualquier número cuando se eleva a una potencia 33 da el mismo número en su lugar de la unidad que en el lugar de la unidad del número original.

por ejemplo, 7 ^ 33 es un número que termina con 7, es decir, 7 es su número de unidad de lugar, de manera similar 39 ^ 33 da como resultado un número que tiene 9 en su lugar de unidad y así sucesivamente.

Entonces, necesitamos sumar 1 + 2 + 3 … + 9 repetidamente por 9 veces. La suma de 1 a 9 es 45 y 45 multiplicado por 9 devuelve un número que termina en 5 nuevamente.

Por lo tanto, el número de dígitos de la unidad para la expresión dada (1 ^ 33 + 2 ^ 33 + 3 ^ 33 … + 89 ^ 33) es 5.

Answer 11

1 ^ 33 + 2 ^ 33 +…. + 89 ^ 33
Cada potencia comienza a repetirse en un ciclo mínimo de 4
ciclo de poder
33/4 = 1 resto
Entonces
1 ^ 1 + 2 ^ 1 +… .. + 89 ^ 1

Dígito de la unidad
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 1 + 2 +… ..9
Hay 9 juegos
= 9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 9 (45)
= 5 -> dígito unitario

Answer 12

dígito unitario de 1 ^ 33, 2 ^ 33, 3 ^ 33… .9 ^ 33 respectivamente son 1,2,3,4,5,6,7,8,9… de manera similar (11-19), ( 21-29), (31-39), … (81-89) sus dígitos unitarios serán los mismos que 1,2,3,4,5,6,7,8,9 … entonces obtenemos que la repetición de (1-9) es 9 veces en la serie dada … así que la unidad dígito de
9 * (1 + 2 + 3 + 4 +…. + 9) = 9 * 45
entonces, 5 es la respuesta …