Una caminata aleatoria que comienza desde el origen donde un ‘caminante’ puede moverse en las direcciones (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), ( -1, -1), (0, -1) y (1, -1) con igual probabilidad en cualquier punto, ¿qué fórmula dará la probabilidad de que el caminante regrese al origen después de ‘n’ pasos?

Answer 1

Probémoslo de esta manera.

[matemáticas] P_ {x, y} (t) [/ matemáticas] = Prob {partícula en la posición (x, y) en el tiempo t}.
Por lo tanto, [matemática] P_ {x, y} (t + 1) = [/ matemática] Prob {partícula en la posición (x, y) en el tiempo t + 1 | la partícula estaba en la posición (x-1, y) en t} [matemática] P_ {x-1, y} (t) [/ matemática] +….

Como hay ocho vecinos en cada ubicación, habrá otros 7 términos que no escribí explícitamente.

Prob {partícula en la posición (x, y) en el tiempo t + 1 | la partícula estaba en la posición (x-1, y) en t} = Prob {yendo en la dirección (1,0)} = [matemática] p_r [/ matemática]. (r significa ‘correcto’)

Prob {partícula en la posición (x, y) en el tiempo t + 1 | la partícula estaba en la posición (x-1, y-1) en t} = Prob {yendo en la dirección (1,1)} = [matemática] p_ {ur} [/ matemática]. (ur significa ‘arriba a la derecha’)

y así.

Por lo tanto, [matemáticas] P_ {x, y} (t + 1) = P_ {x-1, y-1} (t) p_ {ur} + P_ {x-1, y} (t) p_r
+ P_ {x-1, y + 1} (t) p_ {dr} + P_ {x, y-1} (t) p_ {u} + P_ {x, y + 1} (t) p_ {d} +
P_ {x + 1, y-1} (t) p_ {ul} + P_ {x + 1, y} (t) p_ {l} + P_ {x + 1, y + 1} (t) p_ {dl }[/matemáticas]
… .. (1)

En n pasos, la partícula permanecerá dentro de la región (-n, n) [matemática] \ veces [/ matemática] (-n, n).

por lo tanto [matemática] P_ {x, y} (n) = 0 [/ matemática] para todos [matemática] | x |, | y | > n [/ matemáticas].

Podemos construir un vector [matemáticas] Y (t + 1) = [P _ {- n, -n} (t + 1), P _ {- n, -n + 1} (t + 1),
… P _ {- n + 1, -n} (t + 1),… P_ {0, -1} (t + 1), P_ {0, -0} (t + 1), P_ {0,1} (t + 1),…
P_ {n-1, -n} (t + 1),…, P_ {n, n-1} (t + 1), P_ {n, n} (t + 1),] [/ matemática]

Como tenemos eqn. (1) y se da que la probabilidad de ir en cualquier dirección es igual = p = 1/8.

Podemos escribir [matemáticas] Y (t + 1) = \ frac {1} {8} AY (t) [/ matemáticas].
Por lo tanto, [matemática] Y (n) = \ frac {1} {8 ^ n} A ^ nY (0) [/ matemática].
Y es un vector dimensional (2n + 1) ^ 2 y si la partícula está en origen en el momento 0,
[matemática] Y (0) = [0,0,… 2n ^ 2 + 2n veces .., 1,0 2n ^ 2 + 2n veces, 0] [/ matemática].
La probabilidad de volver al origen es el componente 2n ^ 2 + 2n + 1-th, [math] P_ {0,0} (n) [/ math], del vector Y (n).

Answer 2

La respuesta corta es que debe usar ecuaciones de diferencia, que son versiones discretas de ecuaciones diferenciales.

google: “ecuación de diferencia”

¡Qué vergüenza para los otros dadores de respuestas por no mencionar eso y sumergirse directamente en las matemáticas! 🙂

Sin embargo, hay una manera de hacer esto sin ecuaciones de diferencia usando una matriz de cadena de Markov.

Construiría una matriz (2N + 1) x (2N + 1), con (0,0) en el medio. Con N siendo la distancia máxima a la izquierda, derecha, arriba o abajo, que podría viajar después de N giros.

El problema es que no sé cómo proporcionar condiciones iniciales con una matriz markoviana.

Answer 3

Es [matemáticas] 8 ^ {- n} [/ matemáticas] veces el término constante de [matemáticas]
\ big ((1 + x + x ^ {- 1}) (1 + y + y ^ {- 1}) – 1 \ big) ^ n
[/matemáticas]
La secuencia de numeradores comienza con 1,0,8,24,216,1200. No hay una buena fórmula hasta donde puedo ver, pero hay una recursión de tres términos A094061 – OEIS