Cómo evaluar la integral indefinida de [math] \ sqrt {1 + x ^ 2} \ cdot e ^ {- x} [/ math]

Answer 1

Como otros han señalado, no existe una forma cerrada para su integral. Pero aún así puede obtener una expresión en serie de la antiderivada. Quieres resolver

[matemáticas]
\ int e ^ {- x} \ sqrt {1 + x ^ 2} \, dx
[/matemáticas]
Haga la sustitución [math] x = \ sinh (t) [/ math] y obtendrá

[matemáticas]
\ int e ^ {- \ sinh (t)} \, \ cosh ^ 2 (t) \, dt
[/matemáticas]

Haciendo alguna integración por partes

[matemáticas]
-e ^ {- \ sinh (t)} \, \ cosh (t) + \ int e ^ {- \ sinh (t)} \, \ sinh (t) \, dt =
[/matemáticas]

[matemáticas]
= -e ^ {- x} \, \ sqrt {1 + x ^ 2} + \ int e ^ {- \ sinh (t)} \, \ sinh (t) \, dt
[/matemáticas]

Para hacer la última integral, use eso

[matemáticas]
e ^ {- \ sinh (t)} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {n!} \ sinh ^ n (t)
[/matemáticas]

entonces la antiderivada es

[matemáticas]
-e ^ {- x} \, \ sqrt {1 + x ^ 2}
+ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {n!} \ int \ sinh ^ {n + 1} (t) \, dt
[/matemáticas]

y la integral en la serie se puede hacer mediante la fórmula de reducción
[matemáticas]
\ int \ sinh ^ n (t) \, dt =
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ frac {1} {n} \ cosh (t) \ sinh ^ {n-1} (t) – \ frac {n-1} {n} \ int \ sinh ^ {n-2} (t) \ dt
[/matemáticas]

Con esto puede obtener una expresión explícita, poniendo [math] t = \ text {asinh} (x) [/ math] en su fórmula final.

Answer 2

Mathematica no da forma cerrada.

En [1]: = Integrar [Sqrt [1 + x ^ 2] / E ^ x, x]

2
Cuadrado [1 + x]
Fuera [1] = Integrar [————, x]
X
mi