Cómo encontrar la suma de forma cerrada de [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} {1 / (k + 1)} \ binom {n} {k} [/ matemáticas]

Answer 1

Responder

Wolfram alpha dio esta respuesta: [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ n {n \ elegir k} \ frac {1} {k + 1} = \ frac {-n + 2 ^ {n + 1} -2 } {n + 1} [/ matemáticas]

Prueba

1. La identidad binomial , con [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas], da: [matemáticas] (1 + x) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} x ^ k. [/ matemáticas]
2. Integre ambos lados, término por término, entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas]
3. Use el hecho de que [matemáticas] \ int_0 ^ 1 (x + a) ^ {k} dx = \ frac {(a +1) ^ {k + 1} -a ^ {k + 1}} {k + 1} [/ math] para cualquier número entero positivo [math] k [/ math] y cualquier número [math] a [/ math]. Luego, evalúe para [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas].
4. Reste el término [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] en la primera suma

Por lo tanto , obtienes:

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} = \ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1} -1 [/ matemáticas]

tú eres bueno para irte. Espero que esto haya sido útil.

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Fuentes:

• \ sum_ {k = 1} ^ {n} {1 / (k + 1)} \ binom {n} {k} – Wolfram | Alpha
• Teorema binomial

Answer 2

Una muy buena respuesta combinatoria:

Suponga que usted y [matemáticas] n [/ matemáticas] otras personas participan en una lotería. Las reglas de esta lotería son un poco extrañas: primero, un subconjunto de personas no vacío será elegido entre ustedes, y un ganador será elegido entre este conjunto. Para ser precisos, un subconjunto entre todos los posibles [matemática] 2 ^ {n + 1} – 1 [/ matemática] subconjuntos no vacíos de usted se seleccionará de manera uniforme al azar, dando un subconjunto de [matemática] k + 1 [/ matemática] personas; luego, una persona de estas [matemáticas] k + 1 [/ matemáticas] será elegida de manera uniforme al azar para ser la ganadora de la lotería.

Por un lado, consideremos la probabilidad de que ganes. Supongamos que se seleccionan [matemáticas] k + 1 [/ matemáticas], donde uno de ellos es usted. Luego hay [matemáticas] \ binom {n} {k} [/ matemáticas] formas de elegir a las personas restantes en el subconjunto; quedan [math] k [/ math] personas, elegidas entre las restantes [math] n [/ math] personas. Esto se divide entre [matemática] 2 ^ {n + 1} – 1 [/ matemática], el número de formas de seleccionar un subconjunto no vacío de [matemática] n + 1 [/ matemática] personas. Si hay [matemática] k + 1 [/ matemática] personas, la probabilidad de que ganes es claramente [matemática] \ frac {1} {k + 1} [/ matemática]. Sumando todas las posibles [matemáticas] k = 0, 1, 2, \ ldots, n [/ matemáticas], tenemos la probabilidad de que ganes:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ left (\ frac {1} {k + 1} \ cdot \ frac {\ binom {n} {k}} {2 ^ {n + 1} – 1} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {n + 1} – 1} \ cdot \ sum_ {k = 0} ^ n \ left (\ frac {1} {k + 1} \ cdot \ binom {n} {k} \ right) [/ math]

Dejando que la expresión deseada [math] \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k + 1} \ binom {n} {k} [/ math] sea [math] D [/ math], la la probabilidad de que ganes es así [matemáticas] \ dfrac {D + 1} {2 ^ {n + 1} – 1} [/ matemáticas].

Por otro lado, en realidad es muy simple calcular la probabilidad de que ganes: uno de ustedes debe ganar, y la situación es completamente simétrica para todos, por lo que la probabilidad debe ser [matemática] \ frac {1} {n + 1} [/matemáticas]!

Queda por igualar los dos:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {D + 1} {2 ^ {n + 1} – 1} = \ frac {1} {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle D + 1 = \ frac {2 ^ {n + 1} – 1} {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle D = \ frac {2 ^ {n + 1} – n – 2} {n + 1} [/ matemáticas]

Nota: No estoy acostumbrado a escribir bonitas matemáticas en Quora; Las sugerencias para hacer las ecuaciones más bonitas de leer son bienvenidas

Answer 3

La respuesta es [matemáticas] \ tfrac {2 ^ {n + 1} -n-2} {n + 1} [/ matemáticas].

¡Tenga en cuenta que [matemáticas] \ tfrac {1} {k + 1} \ tbinom {n} {k} = \ tfrac {n!} {(K + 1)! (nk)!} = \ tfrac {1} {n + 1} \ tbinom {n + 1} {k + 1} [/ math], por lo que la suma dada es igual a [math] \ sum_ {k = 1} ^ n \ tfrac {1} {n + 1} \ tbinom {n + 1} {k + 1} = \ tfrac {1} {n + 1} \ sum_ {k = 1} ^ n \ tbinom {n + 1 } {k + 1} [/ matemáticas].

Entonces, como [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n \ tbinom {n} {i} = 2 ^ n [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ n \ tbinom {n +1} {k + 1} = 2 ^ {n + 1} -n-2 [/ math], obteniendo el resultado.

Answer 4

Le doy una oportunidad, simplemente soy un estudiante de secundaria.

Por el teorema binomial:

[matemáticas] (1 + x) ^ n = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} x ^ {k} [/ matemáticas]

Integrando ambos lados con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas],

(Lo haría sustituyendo [math] u = x + 1 [/ math] y [math] dx = du [/ math] en el lado izquierdo, siendo el lado derecho bastante obvio)

[matemáticas] \ dfrac {(x + 1) ^ {n + 1}} {(n + 1)} + C_1 [/ matemáticas] [matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ dfrac {x ^ {k + 1}} {k + 1} \ binom {n} {k} + C_2 [/ matemáticas]

Para encontrar las constantes de integración, tomo el caso [math] x = 0 [/ math], que da [math] C_2-C_1 = \ dfrac {1} {n + 1} [/ math].

Entonces tenemos [matemáticas] \ dfrac {(x + 1) ^ {n + 1}} {(n + 1)} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ dfrac {x ^ {k + 1}} {k + 1} \ binom {n} {k} + \ dfrac {1} {n + 1} [/ math].

Reorganizar da: [matemáticas] \ dfrac {(x + 1) ^ {n + 1} -1} {(n + 1)} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n } \ dfrac {x ^ {k + 1}} {k + 1} \ binom {n} {k} [/ math].

Finalmente, aplicando [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y restando el término correspondiente a [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] (1),

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} 1 / (k + 1) \ binom {n} {k} = \ dfrac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1} -1 [/matemáticas]

(1): El lado derecho corresponde a [matemática] \ dfrac {\ binom {n} {0}} {(0 + 1)} = 1 [/ matemática] cuando [matemática] k = 0 [/ matemática].

Espero que los errores se hayan ido