Cómo resolver el caso general [matemáticas] a ^ x = x ^ a [/ matemáticas] donde a es una constante

Answer 1

Hagamos que se vea bastante bien …
[matemáticas] a ^ x = x ^ a [/ matemáticas] es equivalente a [matemáticas] e ^ {x \ ln a} = e ^ {a \ ln x} [/ matemáticas] que es equivalente a [matemáticas] x \ En a = a \ ln x [/ matemáticas] o [matemáticas] \ frac {x} {\ ln x} = \ frac {a} {\ ln a} [/ matemáticas]. Denotemos el RHS con A.
Así tenemos que [math] \ frac {x} {\ ln x} = A [/ math]. Bien, ahora podemos echar un vistazo a la solución final de Wolfram Alpha:
x / ln x = a – Wolfram | Alpha
No es útil. Probemos con A = 3.
x / ln x = 3 – Wolfram | Alpha
[matemáticas] x = e ^ {- W \ izquierda (- \ frac {1} {3} \ derecha)} [/ matemáticas]
Prueba A = 5
[matemáticas] x = e ^ {- W \ izquierda (- \ frac {1} {5} \ derecha)} [/ matemáticas]
Ahora puedes ver el patrón.
Por cierto, la función W (y) se define como si fuera la solución (cualquiera de ellas) a [matemáticas] W (y) e ^ {W (y)} = y [/ matemáticas]
Todavía no puedo llegar allí lol.
Pero de todos modos, tenemos [matemáticas] x = e ^ {- W \ left (- \ frac {\ ln a} {a} \ right)} [/ math]
¿De acuerdo? ¡OKAY!

Tenga en cuenta que probablemente hay múltiples soluciones para esa ecuación W (y); Wolfram Alpha los elige a todos.

Answer 2

Solo para resumir las respuestas ya buenas, básicamente estás resolviendo [matemáticas] x / log (x) = a / log (a) [/ matemáticas]. Voy a asumir que> 1.
De la gráfica de [matemáticas] x / log (x) [/ matemáticas] está claro que hay exactamente dos soluciones. a es siempre una solución. La otra solución está al otro lado de e. Entonces, si a> e, entonces la otra solución está entre 1 y e. Si 1 e.
Para estimar esta otra raíz hasta unos pocos decimales, puede usar un solucionador de raíz, como bisección o Newton-Raphson. No existe una forma cerrada, excepto en términos de funciones no elementales como la función de Lambert mencionada en otras respuestas.

Answer 3

[matemáticas] \ begin {align *} a ^ x & = x ^ a \\ x \ log a & = a \ log x \\ x & = \ frac {a} {\ log a} \ log x \\ \ end {alinear *} [/ matemáticas]

Esta es una ecuación del tipo [math] Ax = \ log x [/ math]. Donde [math] A = \ frac {\ log a} {a} [/ math].

[matemáticas] \ begin {align *} A & = \ frac {\ log x} {x} \ qquad \ qquad \ text {(1)} \\ A & = \ log xe ^ {- \ log x} \\ – A & = – \ log xe ^ {- \ log x} \\ W (-A) & = – \ log x \\ – W (-A) & = \ log x \ qquad \ qquad \ \ \ text {( 2)} \\ \ end {align *} [/ math]

Por lo tanto, combinando (1) y (2)

[matemáticas] x = \ displaystyle \ frac {W \ left (- A \ right)} {- A} [/ math]

Sustituyendo [math] A = \ displaystyle \ frac {\ log a} {a} [/ math], obtenemos

[matemáticas] x = \ displaystyle \ frac {W (- \ log (a) / a)} {- \ log (a) / a} [/ math]

o

[matemáticas] x = e ^ {- W \ izquierda (\ frac {- \ log a} {a} \ derecha)} [/ matemáticas]

Obtenga más información sobre [matemáticas] W (x) [/ matemáticas] aquí: ¿Cómo abordo el siguiente problema [matemáticas] 50 ^ x = x ^ {10} [/ matemáticas]?

Answer 4

Solo quería agregar que [math] x = a [/ math] siempre es una solución.

Creo que, en general, esta es una pregunta difícil. Si a es un número entero, puede considerar los valores de x que son positivos o negativos (suponiendo que solo le interesen las soluciones reales), pero para potencias no enteras solo puede considerar x> = 0.

Las otras respuestas lo ayudan a encontrar una solución, pero no es única y, a veces, hay más que la solución de la función Lambert y x = a. Por ejemplo, cuando a = 2, 2, 4 y la solución de la función Lambert son todas las posibilidades.

Answer 5

La solución general más simple de la ecuación anterior es x = a.

Para una solución adecuada: –
1.Seleccione un valor particular de a y póngalo en la ecuación anterior.

2. Tome registro natural en ambos lados.

3.Ahora obtenga la solución trazando gráficas de ecuaciones en LHS y RHS en el mismo papel cuadriculado O resuelva la ecuación no lineal utilizando el método de bisección o el método Regula-Falsi o el método Newton-Raphson.

Esperamos que te sea útil. 🙂

Answer 6

No podemos escapar de la función Lambert W (Wiki), Lambert W-Function (Mathworld), una función que resuelve [math] X [/ math] en:

[matemáticas] \ color {rojo} {Y} = \ color {azul} {X} e ^ {\ color {azul} {X}} \ rightarrow [/ matemáticas] [matemáticas] \ color {azul} {X} = W (\ color {rojo} {Y}) [/ matemáticas]

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Un método sencillo para aislar [matemáticas] x [/ matemáticas] es:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ begin {align *} a ^ x & = x ^ a \\ x \ log {a} & = a \ log {x} \\ \ log {(a)} \ frac1a & = \ log {(x)} \ frac1x \\ – \ log {(x)} \ frac1x & = – \ log {(a)} \ frac1a \\ \ color {blue} {- \ log {(x)}} e ^ {\ color {blue} {- \ log {(x)}}} & = \ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}} \\ \ color {blue} {- \ log {(x)}} & = W (\ color {rojo} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}}) \\ x & = e ^ {- W (- \ log {\ sqrt [a ] {a}})} \ end {align *} [/ math]

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Para una formulación alternativa podemos usar:

[matemáticas] \ color {rojo} {Y} = W (\ color {rojo} {Y}) e ^ {W (\ color {rojo} {Y})} [/ matemáticas]

Llegar:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ begin {align *} x & = e ^ {- W (- \ log {\ sqrt [a] {a}})} \\ \ frac1x & = e ^ {W (\ color {rojo} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}})} \\ W (\ color {rojo} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}}) \ frac1x & = W (\ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}}) e ^ {W (\ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}})} \ \ W (\ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}}) \ frac1x & = \ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}} \\ \ frac {W (\ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}})} {\ color {red} {- \ log {\ sqrt [a] {a}}}} & = x \ end {align *} [/ math]