De hecho, podemos encontrar una parametrización conveniente de las soluciones a esta ecuación de diofantina, por lo que la respuesta corta es sí.
Primero observemos que podemos encontrar fácilmente todas las soluciones con [math] z = 0 [/ math]. Dado que [matemáticas] 5x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 13y ^ 2 [/ matemáticas] no son negativas, la única solución real a la ecuación [matemáticas] 5x ^ 2 + 13y ^ 2 = 0 [/ matemáticas ] es [matemática] (x, y) = (0,0) [/ matemática]. Entonces, de ahora en adelante, podemos suponer que [math] z [/ math] no es cero.
Su problema es equivalente a encontrar soluciones [matemáticas] (X, Y) [/ matemáticas] a la ecuación [matemáticas] 5X ^ 2 + 13Y ^ 2 = 2 [/ matemáticas], donde [matemáticas] X [/ matemáticas] y [ matemáticas] Y [/ matemáticas] son ambos números racionales. Para cada solución entera [matemática] (x, y, z) [/ matemática] de la ecuación original, hay una solución racional [matemática] (X, Y) = (\ frac {x} {z}, \ frac { y} {z}) [/ math] de la nueva ecuación. Por el contrario, dada una solución racional [matemática] (X, Y) [/ matemática] de la nueva ecuación, obtenemos infinitas soluciones a la ecuación original al borrar los denominadores; más precisamente, si [math] l = mcm (X, Y) [/ math], entonces [math] (x, y, z) = (lX, lY, l) [/ math] y sus múltiplos enteros son todas soluciones a la ecuación original.
La nueva formulación del problema es agradable porque existe el llamado método de acordes y tangentes para encontrar todos los puntos racionales en una cónica una vez que ubicamos un punto racional. El método de acordes y tangentes se aplica aquí porque conocemos una solución racional [matemáticas] (X, Y) = (\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}) [/ matemáticas] a la ecuación [matemáticas] 5X ^ 2 + 13Y ^ 2 = 2 [/ matemáticas].
- Cómo resolver el caso general [matemáticas] a ^ x = x ^ a [/ matemáticas] donde a es una constante
- Cómo demostrar que [matemática] S = T_ {1} [/ matemática] y [matemática] SS_ {1} = T ^ {2} [/ matemática] para cualquier sección cónica expresada en forma estándar
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- Los matemáticos pensaron que no podíamos definir la raíz cuadrada de un número negativo, porque ningún número real podría hacer eso. Pero nos dimos cuenta de que es muy útil y lo definimos como [math] i = \ sqrt {-1} [/ math]. Entonces [math] \ sqrt {-2} = i \ sqrt {2} [/ math] y así sucesivamente. En matemáticas, ¿por qué no podemos definir otras formas indeterminadas como [math] \ log (0) [/ math]?
Keith Conrad escribió un artículo muy agradable explicando cómo podemos encontrar todos los Triples pitagóricos. Mire especialmente la sección 3 para ver el método de acordes y tangentes en acción.
Si adaptamos el método del artículo de Conrad a la ecuación [matemáticas] 5X ^ 2 + 13Y ^ 2 = 2 [/ matemáticas], obtenemos la parametrización
[matemática] X (m) = \ frac {-5 – 26m + 13m ^ 2} {15 + 39m ^ 2} [/ matemática]
[matemática] Y (m) = \ frac {5 – 10m – 13m ^ 2} {15 + 39m ^ 2} [/ matemática]
Para obtener todas las soluciones racionales, simplemente inserte los valores de [math] \ mathbb {P} ^ {1} (\ mathbb {Q}) = \ mathbb {Q} \ cup \ {\ infty \} [/ math] en [ matemáticas] m [/ matemáticas]. A continuación, quiero resaltar dos valores interesantes de [math] m [/ math].
Si conectamos [math] m = \ infty [/ math], básicamente estamos pidiendo los puntos de intersección entre una línea vertical a través de [math] (\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3} ) [/ math] y la elipse [math] 5X ^ 2 + 13Y ^ 2 = 2 [/ math]. Sabemos por simetría de la elipse que el único otro punto de intersección aparte de [math] (\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}) [/ math] es [math] (\ frac {1 } {3}, – \ frac {1} {3}) [/ math], y esto es exactamente lo que obtenemos si conectamos [math] m = \ infty [/ math] en la ecuación paramétrica.
Podemos recuperar el punto racional inicial [matemáticas] (\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}) [/ matemáticas] conectando [matemáticas] m = – \ frac {5} {13} [/matemáticas]. Podemos explicar esto geométricamente observando que la línea tangente a la elipse [matemática] 5X ^ 2 + 13Y ^ 2 = 2 [/ matemática] en el punto [matemática] (\ frac {1} {3}, \ frac {1 } {3}) [/ math] tiene pendiente [math] – \ frac {5} {13} [/ math].