Creo que la forma más fácil es expandirlo completamente primero usando el teorema binomial, y luego todo lo que necesita hacer la derivada es la regla de potencia. No es necesario preocuparse por la regla del producto o la regla de la cadena y los posibles errores descuidados que podrían causar. En otras palabras, simplificamos antes de diferenciar.
Primero, observe que reescribimos el primer producto como [math] (x + 1) ^ 3 (x-1) ^ 3 [/ math] y la segunda parte como [math] (x-1) ^ 4 [/ math] que se combina como [matemáticas] (x + 1) ^ 3 (x-1) ^ 7 [/ matemáticas]. Ahora podemos aplicar el teorema binomial a cada parte fácilmente para obtener:
[matemáticas] (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1) \ veces [/ matemáticas]
[matemáticas] (x ^ 7-7x ^ 6 + 21x ^ 5-35x ^ 4 [/ matemáticas] [matemáticas] + 35x ^ 3-21x ^ 2 + 7x-1) [/ matemáticas]
Ahora, hacemos la única parte difícil, y en realidad multiplicamos estos polinomios. Si eres cuidadoso y organizas tus multiplicaciones polinómicas como lo hago yo, puedes hacerlo sin el riesgo de cometer errores. Debido a que ambos polinomios son expansiones binomiales y, por lo tanto, tienen un coeficiente simétrico, los productos parciales tienen una simetría encantadora que sirve como un control de su trabajo y al mismo tiempo reduce la cantidad de pensamiento que tiene que hacer. Esta simetría también lleva a que haya un par de cancelaciones agradables al sumar estos productos, y el resto de las adiciones pueden simplificarse mentalmente simplemente conociendo su tabla de tiempos de sietes. Además, cuando llegas a la mitad de las sumas para cada poder, descubres que la segunda mitad es justo lo opuesto a la primera mitad, lo que lleva a otra simetría y otra reducción en el pensamiento. El resultado es:
[matemáticas] x ^ {10} – 4x ^ 9 + 3x ^ 8 + 8x ^ 7 – 14x ^ 6 [/ matemáticas] [matemáticas] + 14x ^ 4 – 8x ^ 3 – 3x ^ 2 + 4x – 1 [/ matemáticas ]
¿Ves la agradable simetría izquierda-derecha en coeficientes allí?
De todos modos, tomar la derivada ahora es trivial, y el resultado ya está lo más simplificado posible:
[matemáticas] 10x ^ 9 – 36x ^ 8 + 24x ^ 7 + 56x ^ 6 – 84x ^ 5 [/ matemáticas] [matemáticas] + 56x ^ 3 – 24x ^ 2 – 6x + 4 [/ matemáticas]
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