Cómo calcular [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sqrt [4] {x ^ {4} +1} – \ sqrt {x ^ {2} +1}} {x ^ {2} }[/matemáticas]

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, mi enfoque anterior puede no dar la respuesta correcta cada vez.

Aquí hay una solución que utiliza la expansión binomial completa de
[matemáticas] (1 + x ^ 4) ^ {1/4} = 1 + \ frac {x ^ 4} 4 – \ frac {3x ^ 8} {32} + \ frac {7x ^ {12}} {128 } + O (x ^ {13}) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + x ^ 2) ^ {1/2} = 1+ \ frac {x ^ 2} 2 – \ frac {x ^ 4} 8+ \ frac {x ^ 6} {16} + O ( x ^ {7}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sqrt [4] {1 + x ^ 4} – \ sqrt {1 + x ^ 2}} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim _ {x \ a 0} \ frac {- \ frac {x ^ 2} 2+ \ frac {3x ^ 4} 8 – \ frac {x ^ 6} {16} – \ frac {7x ^ 8} {128} + O (x ^ 9)} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim _ {x \ a 0} \ left (- \ frac {1} 2+ \ frac {3x ^ 2} 8 – \ frac {x ^ 4} {16} – \ frac {7x ^ 6} {128} + O (x ^ 7) \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-1} 2 [/ matemáticas]

En este caso, la expansión hasta el segundo grado será suficiente, pero me expandí a términos de mayor grado para mayor claridad.

Gracias a Mehdi Bahri, Paul Olaru, Usuario de Quora, por señalar mi error y sus sugerencias.

Answer 2

Sustituya [matemática] x ^ 2 = t [/ matemática] Como x tiende a 0 t también tiende a 0

[matemáticas] \ lim_ {t \ a 0} \ frac {\ sqrt [4] {t ^ 2 + 1} – \ sqrt {t + 1}} {t} [/ matemáticas]

multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador

[matemáticas] = \ lim_ {t \ a 0} \ frac {(\ sqrt [4] {t ^ 2 + 1} – \ sqrt {t + 1}) (\ sqrt [4] {t ^ 2 + 1} + \ sqrt {t + 1})} {t (\ sqrt [4] {t ^ 2 + 1} + \ sqrt {t + 1})} [/ math]

sustituya t = 0 en aquellos lugares donde no conduce a la forma [math] \ frac {0} {0} [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {t \ a 0} \ frac {(\ sqrt {t ^ 2 + 1} – (t + 1)} {t (1 + 1)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {t \ a 0} \ frac {({t ^ 2 + 1} – (t + 1) ^ 2)} {2t (1 + 1)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {t \ a 0} \ frac {(- 2t)} {4t} = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Answer 3

Usando expansiones Taylor en 0:

[matemáticas] (1 + x ^ 4) ^ {1/4} = 1 + \ frac {1} {4} x ^ 4 + o (x ^ 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + x ^ 2) ^ {1/2} = 1 + \ frac {1} {2} x ^ 2 – \ frac {1} {8} x ^ 4 + o (x ^ 4) [ /matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ frac {(1 + x ^ 4) ^ {1/4} – (1 + x ^ 2) ^ {1/2}} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1 + \ frac {1} {4} x ^ 4 + o (x ^ 4) – 1 – \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {8} x ^ 4 + o (x ^ 4)} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ frac {3} {8} x ^ 4 – \ frac {1} {2} x ^ 2 + o (x ^ 4)} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {1} {2} + \ frac {3} {8} x ^ 2 + o (x ^ 2) [/ matemáticas]

Por lo tanto [matemática] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {(1 + x ^ 4) ^ {1/4} – (1 + x ^ 2) ^ {1/2}} {x ^ 2} = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Las expansiones de Taylor son la forma más general de calcular límites no triviales. Usar las expansiones bien conocidas de algunas funciones + composición de funciones es muy útil para este tipo de cosas.

Answer 4

Podemos usar la regla de l’Hôpital.

La regla de L’Hôpital establece que para las funciones fyg que son diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en un punto contenido en I , si

para todo x en I con x ≠ c , y

existe, entonces

Si también [math] \ lim_ {x-> c} f ‘(x) = \ lim_ {x-> c} g’ (x) = 0 [/ math] o [math] \ pm \ infty [/ math]

podemos probar con [matemáticas] f ” (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] g ” (x) [/ matemáticas] o [matemáticas] f ” ‘(x) [/ matemáticas] y [matemáticas] g ” ‘(x), [/ math] y así sucesivamente, siempre que [math] f’ (x) [/ math] y [math] g ‘(x) [/ math] o [math] f’ ‘(x) [/ math] y [math] g’ ‘(x) [/ math] siguen siendo diferenciables.

Vamos a definir

[matemáticas] f (x) = \ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} – \ sqrt {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] g (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora tomemos los derivados:

[matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {x ^ 3} {\ sqrt [4] {(x ^ 4 + 1) ^ 3}} – \ dfrac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + 1} }[/matemáticas]

[matemáticas] g ‘(x) = 2x [/ matemáticas]

Como podemos ver

[matemáticas] \ lim_ {x-> 0} f ‘(x) = \ lim_ {x-> 0} g’ (x) = 0 [/ matemáticas]

Probemos con las segundas derivadas:

[matemáticas] f ” (x) = \ dfrac {3x ^ 2} {\ sqrt [4] {(x ^ 4 + 1) ^ 3}} – \ dfrac {3x ^ 6} {\ sqrt [4] { (x ^ 4 + 1) ^ 7}} – \ dfrac {1} {\ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ dfrac {x} {\ sqrt {(x ^ 2 + 1) ^ 3}} [ /matemáticas]

[matemáticas] g ” (x) = 2 [/ matemáticas]

Esta vez los límites son diferentes de 0.

[matemáticas] \ lim_ {x-> 0} f ” (x) = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x-> 0} g ” (x) = 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] \ lim_ {x-> 0} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x-> 0} \ dfrac {f ” (x)} {g ” (x )} = – \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Answer 5

Su -1/2
Estas preguntas (límites de tipo 0/0) se manejan mejor mediante la RACIONALIZACIÓN HASTA QUE EL FACTOR RESPONSABLE DE HACER QUE EL FORMULARIO DETERMINADO ES COMÚN EN DENOMINADOR Y NUMERADOR.
En esta pregunta haces la RACIONALIZACIÓN dos veces. Al final obtienes el factor x ^ 2 tanto en numerador como en denominador que elimina la forma 0/0 del límite y por lo tanto está resuelto.

Answer 6

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sqrt [4] {x ^ {4} +1} – \ sqrt {x ^ {2} +1}} {x ^ {2}} [/ matemáticas]?

Estos límites se manejan mediante la multiplicación por uno de una manera conveniente. El “truco” es reconocer que:

[matemática] (a + b) (ab) = a ^ 2 – b ^ 2 [/ matemática] y úsela para soltar las raíces y alcanzar una expresión donde las cosas se cancelen y no obtenga [matemática] \ frac {0 } {0} [/ matemáticas]

Toma tu expresión y multiplícala por:

[matemáticas] \ frac {\ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} + \ sqrt {x ^ 2 +1}} {\ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} [/ matemáticas]

Y luego multiplica de nuevo por:

[matemáticas] \ frac {\ sqrt [2] {x ^ 4 + 1} + {(x ^ 2 + 1)}} {\ sqrt [2] {x ^ 4 + 1} + {(x ^ 2 + 1 )} }[/matemáticas]

Después de un poco de álgebra aburrida, deberías encontrar [matemáticas] \ frac {-1} {2} [/ matemáticas]

Answer 7

Dado lim x-> 0 [(x ^ 4 + 1) ^ (1/4) – (x ^ 2 + 1) ^ (1/2)] / x ^ 2
usando la regla de L’hospitals tenemos
-1/2

Ayuda Pre Algebra

Answer 8

Esta pregunta sería bastante fácil de responder después de aprender sobre la expansión de Taylor, que se considera el punto más alto del cálculo de un elemento.

(Lamento no estar acostumbrado a responder un problema de cálculo en detalle; para no ofender a nadie, el método y el principio son más importantes para tales problemas).

Answer 9

(suponiendo que no pueda usar L’Hopital)
[respuesta en progreso …]
Deberá reescribir esto primero: [matemáticas] \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} – \ sqrt [4] {x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1}} { x ^ 2} [/ matemáticas]
Amplificar con el conjugado; podría usar lo mismo pero con un plus, pero para ser más rápidos no lo haremos tan fácilmente. En su lugar, amplifique con el verdadero conjugado, que es [matemáticas] \ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} ^ 3 + \ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} ^ 2 \ sqrt [4] {x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1} [/ matemáticas] [matemáticas] + \ sqrt [4] {x ^ 4 + 1} \ sqrt [4] {x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1} ^ 2 + \ sqrt [ 4] {x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1} ^ 3 [/ matemáticas]

Después de algunas matemáticas bastante tediosas, llegarás a un límite finito. Es muy difícil escribirlo aquí, pero mencionaré que el numerador del límite resultante cancelará el término x ^ 4 y tendrá un x ^ 2, que se simplificará con el uno hacia abajo. Como el conjugado también afecta el límite (“factor de fuerza”, la mayor potencia de x que puede sin hacer que todas las potencias sean negativas)

Answer 10

La respuesta es -1/2, utilizando los diferenciales de las funciones.