Cómo mostrar eso para cada conjunto [math] A [/ math], [math] A \ oplus A = \ emptyset [/ math] y [math] A \ oplus \ emptyset = A [/ math]

Answer 1

Danya Rose construye una muy buena respuesta alrededor de la tabla de verdad para xor. Haré algo similar para la definición teórica de conjuntos de la operación binaria [math] \ oplus [/ math].

Recuerde que [math] A \ oplus B [/ math] se define como el conjunto de todos los elementos [math] x [/ math] de modo que [math] x [/ math] pertenece exactamente a uno de [math] A [ / matemáticas] o [matemáticas] B [/ matemáticas]. En simbolos
[matemáticas] A \ oplus B = \ left (A \ cap \ overline {B} \ right) \ cup \ left (B \ cap \ overline {A} \ right) [/ math]
donde [math] \ overline {X} [/ math] significa el complemento de [math] X [/ math]. [1] [2]

Con esta definición en la mano, pregúntese: ¿cuáles son esos elementos que están exactamente en uno de [math] A [/ math] y [math] \ varnothing [/ math]?

La moraleja de la historia es: la habilidad más importante para aprender matemáticas es leer y comprender la definición de cada término . Luego use la definición para probar lo que sea que esté tratando de probar.

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[1] Para que esto sea formalmente correcto, necesitamos especificar algún “conjunto de universos” [matemática] U [/ matemática] lo suficientemente grande como para contener tanto [matemática] A [/ matemática] como [matemática] B [/ matemática], y tome el complemento relativo , pero eso no es realmente necesario para comprender esta pregunta.

[2] Tenga en cuenta que su libro de texto puede usar una definición diferente de la operación [math] \ oplus [/ math]. Si es así, usa esa. Prefiero esta porque es la fórmula cuya “traducción natural al inglés” está más cerca de “el conjunto de todas las cosas en exactamente una de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]”.

Answer 2

No responderé su pregunta directamente, ya que se parece demasiado a una pregunta de tarea para mi gusto. Sin embargo, intentaré darte una pequeña idea para que puedas resolverlo por ti mismo.

La clave es usar la tabla de verdad para la operación xor. Luego puede usar cualquier forma en que le gustaría pensar sobre lo que eso significa en términos de si un elemento está en el conjunto resultante. La tabla de verdad dice que si un elemento no está en ninguno de los conjuntos, no está en el conjunto resultante, si está en ambos conjuntos, no está en el conjunto resultante, pero si está exactamente en uno de los conjuntos, está en el conjunto resultante

Eso solo debería ser suficiente información, pero daré un (tipo de) ejemplo. Si tiene dos intervalos de números reales que tienen cierta superposición (llámelos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], y tenemos esa [matemática] A \ cap B \ ne \ emptyset [/ math]), luego [math] A \ oplus B = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B) [/ math]. Es decir, el conjunto resultante es el conjunto de puntos cubiertos solo por exactamente una línea. (Dibuje, por ejemplo, [matemática] A = [1,3], \ B = [2,4] [/ matemática]. Luego [matemática] A \ oplus B = [1,2) \ cup (3,4 ] [/ math], porque [math] [2,3] [/ math] es la intersección de ambos conjuntos. Es decir, cada uno de ellos aparece dos veces).

Entonces, si aplica este tipo de pensamiento a intervalos de números reales, puede ver por qué las afirmaciones en su pregunta son verdaderas y simplemente sentirlo de una manera más concreta. Probarlo, sin embargo, requiere abstraerse de conjuntos particulares, o conjuntos que contienen solo tipos particulares de elementos, pero aún cavar en los elementos que contienen, manteniendo la esencia de “superposición” o no, según la tabla de verdad. ¿Hay un elemento en ambos conjuntos a ambos lados de [math] \ oplus [/ math], o está solo en uno?